но собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля по переменной y, тогда

∞

Ψi(y, z) = P Zij(z)Yj(y), причем функции Zij(z) удовлетворяют уравнению Z00 − (λi + µj)Z = 0.

j=1

Pешение исходной задачи приобретает вид

				∞		∞
				X		X
				u(x, y, z) =		Xi(x) (Aij ch ωijz + Bij sh ωijz)Yj(y),
				i=1		j=1
где ωij	=			. Граничные условия на гранях z = 0 и z = c позволяют найти постоянные Aij и Bij.
		λi + µj
Пусть,	например,		u(x, y, 0) = h0(x, y)		,
	p

u(x, y, c) = h1(x, y), тогда

	Aij
Bij =	1
	||XiYj||2

			1			a b
						R R
a b||			XiYj	||	2
=						h0(x, y)Xi(x)Yj(y) dx dy,
						0 0
0 0		h0(x, y)Xi(x)Yj(y) dx dy − Aij ch ωjc! / sh ωjc,
R R						a b

||XiYj||2 = R R Xi2(x)Yj2(y) dx dy.

00

5.47.Боковые грани прямоугольнoго параллелепипеда 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c имеют нулевую температуру, а оба основания имеют заданное распределение температуры, не зависящее от времени: u(x, y, 0) = f(x, y), u(x, y, c) = g(x, y). Найти температуру u(x, y, z) внутри параллелепипеда.

Указание: задача стационарная, т.е. u не зависит от времени.

3.4 Метод Даламбера для уравнения колебаний струны

3.4.1 Неограниченная струна

А. Свободные колебания.

Струна считается настолько длинной, что влиянием её концов можно пренебречь. Задача состоит в нахождении решения уравнения utt = a2uxx при −∞ < x < +∞, t > 0, удовлетворяющего заданным начальным условиям

u|t=0 = φ(x), ut|t=0 = ψ(x). ( )

5.48. а) Заменой переменных ξ = x − at, η = x + at привести уравнение колебаний струны к виду

uξη = 0;

б) показать, что общее решение уравнения uξη = 0 имеет вид u = f(ξ)+g(η), где f и g – произвольные дифференцируемые функции. Это означает, что любое свободное колебание струны представляет собой наложение волн, бегущих вдоль струны навстречу друг другу: u(x, t) = f(x − at) + g(x + at).

5.49. Получить формулу Даламбера, то-есть найти такие функции f и g чтобы функция u(x, t) удовлетворяла начальным условиям ( ).

Б. Вынужденные колебания.

5.50. a) Показать, что уравнение вынужденных колебаний неограниченной струны utt = a2uxx + F (x, t) имеет решение

tx+aτ

u(x, t) =	1	Z dτ	Z	F (ξ, t − τ) dξ.
	2a

0x−aτ

Здесь F (x, t) – заданная непрерывная функция, равная нулю при t < 0. б) Каким начальным условиям удовлетворяет данное решение?

69