17. Основные положения мкт. Масса и размеры молекул. Основное уравнение мкт. Кинетическая энергия молекулы. Средняя квадратичная скорость молекул. Длина свободного пробега.

Кинетическая теория газов основана на следующих общих положениях классической статистической физики:

а) в системе частиц выполняются законы сохранения импульса, момента импульса, энергии, электрического заряда (для систем заряженных частиц) и числа частиц (для закрытых систем частиц, не претерпевающих химических и других превращений);

б) все частицы системы считаются "мечеными", т.е. предполагается возможность отличать друг от друга тождественные частицы (например, молекулы одного и того же вещества);

в) все физические процессы в системе протекают в пространстве и времени непрерывно (например, энергия молекулы может изменяться под влиянием внешних воздействий на любую величину, т.е. непрерывно);

г) каждая частица системы может иметь совершенно произвольные значения координат (в пределах объема системы) и компонент скорости совершенно независимо от того, каковы значения этих характеристик у других частиц системы.

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку S (рис. .6) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m₀v-(-m₀v) = 2m₀v, где m₀ - масса молекулы, v - ее скорость. За время t площадки S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием S и высотой v t (рис. 6). Число этих молекул равно nSvt (n - концентрация молекул).

Д

ля упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул, т.е. 1/6 молекул, движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку S будет 1/6nSvt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

P=2m₀v*1/6nSvt = 1/3nm₀v²Svt.

По второму закону Ньютона импульс силы равен изменению импульса тела: Ft = t. Давление, по определению, есть сила, действующая на единицу площади: p = F/S.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда:

p=P/(tS) = 1/3nm₀v². (2.6)

Так как газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v₁, v₂, ..., V_n, то в качестве v принимают среднюю квадратичную скорость

(2.7)

характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (2.6) с учетом (2.7) примет вид

p=1/3nm₀<v_кв>² (2.8)

Выражение (2.8) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

Учитывая, что n = N/V, получим

pV=1/3Nm₀<v_кв>² (2.9)

или

(2.8)

где Е - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа m = Nm₀, то уравнение (2.9) можно переписать в виде

PV = 1/3m<v_кв>².

Для одного моля газа m = М (М - молярная масса), поэтому

PV_m = 1/3M<v_кв>²,

где V_m - молярный объем.

С другой стороны, по уравнению Клапейрона - Менделеева, рV_m = RТ. Таким образом,

RT = 1/3M<v_кв>²,

откуда

. (2.11)

Так как М = m₀N_a, где m₀ - масса одной молекулы, а N_a - постоянная Авогадро, то из уравнения (2.11) следует, что

(2.12)

где k - постоянная Больцмана.

Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода - 1900 м/с.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа

<ε₀>=m₀<v_кв>²/2 = 3/2kT (2.13)

пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее.

Кинетическая энергия газа, состоящего из N молекул, равна Е=3/2NkT. Подставив это выражение в (2.10), получим рV = NkT. Учитывая что n = N/V, приводим уравнение к виду р=nkT, которое является уравнением состояния идеального газа. Из этого уравнения следует, что при Т= 0, <ε₀> = 0, т.е. при T=0 прекращается поступательное движение молекул газа, а, следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (2.13) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь, λ, который называется длиной свободного пробега.: <λ> = 1/(√2nπd²), где n - концентрация молекул.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d.