8. Колебания.

Движения и циклические процессы, характеризуемые определенной повторяемостью во времени, называют колебаниями. Они чрезвычайно распространены в природе и технике. Это суточные и годичные изменения температуры, морские приливы и отливы, волны на поверхности морей и океанов, разрушительные колебания коры планеты, биение сердца, дыхательный ритм, вибрации механизмов и сооружений (амплитуда колебаний вершины Останкинской телебашни при сильном ветре достигает 2,5 м), движение поршней двигателей внутреннего сгорания, акустические процессы, тепловое движение ионов и атомов кристаллической решетки твердого тела и движение электронов в атоме, переменный ток и его электромагнитное поле. В ряде случаев колебания играют отрицательную роль. Это колебания (вибрации) крыльев самолета; моста, возникающие из-за толчков на стыках рельс, при прохождении поезда; корпуса корабля, вызванные вращением гребного винта и т.п. Все эти процессы могут привести к катастрофическим последствиям. В подобных случаях необходимо воспрепятствовать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров. Вместе с тем колебательные процессы составляют основу некоторых, технических устройств и даже отраслей техники. Так, радиотехника основана на колебательных процессах.

В зависимости от характера воздействия, вызывающего и поддерживающего колебательный процесс, колебания классифицируют на свободные (или собственные), вынужденные, автоколебания и параметрические.

Свободные или собственные колебания происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок или она была выведена из положения равновесия. Примером собственных колебаний является движение подвешенного на нити шарика.

Вынужденные колебания появляются в системе от воздействия внешней периодически изменяющейся силы. Примером вынужденных колебаний может служить колебание моста, возникающее при прохождении по нему шагающих в ногу людей.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на систему внешних сил, но при этом система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы. В них маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или упругой пружины. Однако толчки происходят в те моменты времени, когда маятник проходит через среднее положение.

Параметрические колебания в системе происходят также от внешнего воздействия при периодическом изменении одного из параметров системы. Примером параметрических колебаний является движение шарика, подвешенного на нити переменной длины.

Физическая природа колебаний может быть разной, и поэтому колебательные системы принято классифицировать на механические, электрические, информационные, биологические и др. Особое значение, имеют колебания двух видов: механические и электромагнитные. К механическим относят колебания маятников, струн, вибрации различных механизмов и сооружений, а также акустические колебания, волны на поверхности водоемов и др. К электромагнитным — колебания тока в электрической цепи, колебания напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной волне. По форме колебания могут быть разделены на прямоугольные, треугольные и синусоидальные (рис. 13.1).

Простейшими являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса — синуса.

Рассмотрим основные кинематические параметры гармонических колебаний.

1. Отклонение (смещение s = f(t)) — мгновенное вертикальное перемещение относительно положения равновесия, м.

2. Амплитуда А — максимальное отклонение (смещение), м. Большинство реальных колебательных процессов не являются строго периодическими. И в связи с этим изменение амплитуды позволяет выделить незатухающие, затухающие, нарастающие и амплитудно-модулированные колебания (рис. 13.3). Последний тип колебательного движения, в котором амплитуда периодически изменяется, называется биениями.

3. Периодичность, то есть повторяемость движения по истечении времени Т, называемая периодом колебания. Это минимальный промежуток времени, через который происходит повторение процесса. Период Т = 1/ , с.

4. Число колебаний к моменту времени t равно п = t/T. Количество повторений процесса п в течение времени t называют частотой, в данном случае. колебательного процесса, = n/t, с^-1. Следовательно, частота колебаний = 1/Т, с^-1= Гц, представляет собой число колебаний в единицу времени. В качестве единицы измерения частоты в СИ используется герц. 1 Гц соответствует одному колебанию в секунду.

5. Угловая, круговая или циклическая частота, называемая прежде угловой скоростью,. Так как со , то , рад/с. Заметим, что Т = . Циклическая частота равна величине изменения фазы в единицу времени, то есть скорости изменения фазы.

6. Фаза , рад — термин греческого происхождения и в переводе на русский язык означает «проявление». В физике это следует понимать как конкретную в фиксированный момент времени стадию развития периодического процесса. Например: начало его, максимум развития, минимум и т.д. Однако изложенного определения фазы, как физической величины, недостаточно. Физический смысл фазы состоит в том, что она определяет смещение в любой момент времени и, следовательно, состояние колебательной системы. Отметим еще раз, что изменение фазы на 2 рад соответствует отрезку времени в один период Т. И еще один нюанс из области воспоминаний. Пересчет радиан в градусы осуществляется следующим образом: =57,3°.

7. Начальная фаза , рад — значение фазы в момент начала колебаний при t = 0. При определении фазы необходимо учитывать начальную фазу - рис. 13.4.

8. Время t — отсчитывается от момента начала колебаний. Колебания, и в том числе гармонические, представляют собой движение с переменным ускорением. Отклонение, скорость и ускорение являются функцией времени.

Для гармонического, например, движения системы по. окружности, описываемого уравнением типа s = Асоs = Acos(), первая производная по времени представляет собой мгновенную скорость колеблющейся системы

(13.1)

Выше было отмечено, что гармоническое колебание представляет собой движение с переменным ускорением. Мгновенное ускорение колебательной системы определяется второй производной s = Асоs по времени

(13.2)

Предположение о периодическом гармоническом изменении скорости и ускорения во времени наглядно подтверждается уравнениями 13.1 и 13.2 и очевидно из рис. 13.5. Фазы скорости и ускорения отличаются от фазы s = Асоs соответственно на /2 и . Поэтому скорость и ускорение достигают своих амплитудных значений и соответственно в моменты времени, когда s = 0 и s = ±А. Знак ускорения всегда противоположен знаку смещения, то есть ускорение центростремительно.

Из уравнения 13.2 следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

. (13.3)

Решением этого уравнения является s = Acos(.