5. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим изолированную систему, состоящую из п материальных точек. Понятие изолированной системы будет рассмотрено в теме 6. Здесь, однако, оговоримся, что понятие изолированной системы условно. Следует это из невозможности полностью изолировать систему от окружающей среды. Материальные точки системы находятся в состоянии постоянного взаимодействия. Сталкиваясь друг с другом, они изменяют свой импульс. При этом, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими точками, будут равны по модулю и противоположны по направлению. Таким образом, геометрическая сумма сил взаимодействия между материальными точками равна нулю. Рассматривая взаимодействие тел в течение бесконечно малого промежутка времени dt, получим

где — импульс системы. Это значит, что векторная сумма импульсов всех тел постоянна во времени.

Любое из приведенных выражений следует рассматривать как закон сохранения импульса: импульс изолированной системы есть величина постоянная. Закон справедлив для любого промежутка времени. Закон сохранения импульса справедлив не только в классической, но и в квантовой механике. Следовательно, этот закон принадлежит к числу фундаментальных (универсальных) физических законов.

Закон сохранения импульса является следствием свойств симметрии пространства, его однородности. Однородность пространства состоит в том, что физические свойства изолированной системы не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Иллюстрацией закона сохранения импульса могут быть:

1. Явление откатки (отдачи) орудия (ружья) при выстреле. Здесь систему «орудие — снаряд» можно считать изолированной. Поскольку при выстреле компоненты системы снаряд и орудие разлетаются только вдоль общей кривой, то для векторов скоростей снаряда v и орудия v₀ закон сохранения импульса имеет вид mv + m_ov_o = 0, где т и щ — массы снаряда и орудия;

2. Явление «непрерывной отдачи», происходящее в реактивном двигателе. В этом случае изолированной системой являются летательный аппарат с двигателем и вытекающий из его сопла поток газообразных продуктов сгорания. Очевидна аналогия с предыдущим примером: летательный аппарат как орудие, непрерывно стреляющее струей газов. Однако в отличие от выше рассмотренного случая масса летательного аппарата уменьшается по мере расходования горючего. Но если иметь в виду ракету, то это единственное устройство, способное приходить в движение и изменять траекторию без опоры, то есть без посредства внешней среды. Поэтому реактивный двигатель является единственно возможным для космических аппаратов.

Реактивно перемещаются медузы, спруты, моллюски, кальмары (до 70 км/ч). Природным реактивным снарядом является «бешеный огурец», растущий в Южном Крыму;

3. Центральный абсолютно неупругий удар двух шаров. Шары с разной скоростью движутся в одном направлении. После соударения они движутся как единое целое.

6. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

Опыт показал, что при вращении тела, например закручива­нии болта гаечным ключом, существенным оказывается понятие момента силы, а не только модуля силы и длины рычага. Вектором момента силы отно­сительно точки О (рис) называют вектор М, модуль которого равен произ­ведению модуля силы F на ее плечо I

М = Frsina = Fℓ, Н·м.

Момент силы относительно неподвижной точки О представляет векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на силу : .= []. Радиус-вектор г, проведенный из точки О в точку приложения силы, и сила F лежат в плоскости рисунка. Вектор момента силы перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется по правилу правого винта. Поворот головки винта в направлении силы вызывает перемещение винта в направлении вектора момента силы. В данном случае вектор момента силы направлен от нас и изображен на рисунке 3.3 кружком с крестиком. Точка О находится в центре кружка.

Плечом силы называют длину перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила.

Проекция вектора на неподвижную ось z является скалярной физической величиной и называется моментом силы относительно оси z (рис. 3.4): M_z= []. Значение момента М_г не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Моментом инерции тела относительно оси вращения z называют сумму произведений масс п материальных точек этого тела на квадраты их расстояний до этой оси

кг·м².

Указанную сумму можно свести к интегралу J=∫r²dm . Здесь величину r следует понимать как функцию положения точки с координатами х, у, z.

По аналогии с моментом силы можно получить еще одну важную векторную характеристику вращающейся материальной точки — момент импульса материальной точки относительно точки О., где - радиус-вектор, определяющий положение материальной точки относительно точки О, а — импульс этой материальной точки. Модуль момента импульса материальной точки можно представить в виде произведения (рис)

L = rpsina = рℓ, Дж·с.

Если материальная точка движется прямолинейно, то модуль момента импульса равен L = mvl, при движении материальной точки по окружности радиусом R момент импульса относительно центра окружности равен L = mvR.

Момент импульса твердого тела относительно оси z представляет собой сумму моментов импульса отдельных частиц

, Дж·с.

Используя формулу получим , то есть

L_z=J_zω, Дж·с. (3.6)

Следует обратить внимание на то, что у ω индекс не ставится, так как эта величина одинакова для всех точек тела.

Итак, момент импульса твердого тела относительно оси z равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на его угловую скорость.

Итак, момент импульса твердого тела относительно оси z равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на его угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (3.6) по времени

Момент силы относительно оси z может быть преобразован к виду:

Таким образом, dLz/dt = M . Наряду с изложенным, имеет место векторное равенство . В изолированной системе момент внешних сил отсутствует, то есть = 0 и , а следовательно, момент импульса изолированной системы остается постоянным: const.

Подобно законам сохранения энергии и импульса, закон сохранения момента импульса принадлежит к числу фундаментальных законов природы. Моментом импульса обладают не только движущиеся макроскопические системы, но и отдельные элементарные частицы, а также атомные ядра, атомы, их ассоциативные комплексы. Причем некоторые элементарные частицы и их системы могут иметь моменты импульса, не связанные с движением в пространстве, и называют их спинами.

Из равенства М_z =J_z dw /dt с учетом того, что dw/dt представляет собой угловое ускорение, следует основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

М_z= J_ze, H • м.

Очевидно, что угловое ускорение, сообщаемое телу моментом силы, тем больше, чем меньше момент инерции, то есть момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении. Но в отличие от массы, момент инерции конкретного тела может иметь множество значений соответственно множеству возможных осей вращения.