Задачи с параметрами и методы их решения

За м е ч а н и е. Формула (7) справедлива при α − πk, β − πk,

α+ β − πk, а формула (8) — при α − πk, β − πk, α – β − πk (k Ý Z).

6.Форм лы двойно(о ар( мента

1°. sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α – sin2 α,

tg 2α =	----2-----tg---------α---- .
	1 – tg2 α

(1)

(2)

(3)

2°. 1	– cos 2α = 2 sin2 α,		(4)
1	+ cos 2α = 2 cos2 α.		(5)
3°. Кроме перечисленных выше формул (1)—(5), полезно знать
и формулы
	sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α,		(6)
	cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α,		(7)
	tg 3α =	3 tg α – tg3 α	(8)
		----------------------------------- .
		1 – 3 tg2 α

7. Преобразование произведения три(онометричес их ф н ций в с мм

1°. sin α sin β =	cos-----------(--α-----–------β---)----–----cos-----------(--α-----+------β---)	,
	2
2°. cos α cos β =	cos-----------(--α-----+------β---)----+----cos-----------(--α-----–------β---)	,
	2
3°. sin α cos β =	--sin---------(--α-----+------β)-------+----sin-----------(--α-----–----β----)	,
	2

4°. tg α tg β =	----tg-------α-----+------tg-------β----	,
	ctg α + ctg β

(1)

(2)

(3)

(4)

	5°. ctg α ctg β = ctg-----------α-----+------ctg---------β-- .	(5)
	tg α + tg β
	З а м е ч а н и е. Формулы (4) и (5) справедливы при α −	π----k-- ,
		2
β −	π----k-- (k Ý Z). Кроме то#о, в формуле (4) должно быть ctg α +
	2

+ ctg β − 0, а в формуле (5) tg α + tg β − 0.

181

8.Форм лы с ммы и разности одноименных три(онометричес их ф н ций

1°. Формулы суммы и разности синусов:
sin α + sin β = 2 sin	α-------+----β-	· cos	α-------–----β-	;
	2		2
sin α – sin β = 2 sin α-------–----β-		· cos	α-------+----β- .
	2		2
2°. Формулы суммы и разности осинусов:
cos α + cos β = 2 cos	α-------+----β-	· cos	α-------–----β-	;
	2		2
cos α – cos β = –2 sin	α-------–----β-	· sin	α-------+----β- .
	2		2
3°. Формулы суммы и разности тан#енсов:
tg α + tg β = --sin---------(--α-----+------β---)- , #де α −	--π + πk, β − --π			+ πk,
cos α cos β	2		2

(1)

(2)

(3)

(4)

k Ý Z; (5)

tg α – tg β = --sin---------(--α-------–----β---)- , #де α − --π			+ πk, β − --π + πk, k Ý Z.	(6)
cos α cos β		2	2
4°. Формулы суммы и разности отан#енсов:
ctg α + ctg β =	--sin---------(--α-----+------β)---	, #де α − πk, β − πk, k Ý Z;		(7)
	sin α sin β
ctg α – ctg β =	--sin---------(--β-----–----α)-----	, #де α − πk, β − πk, k Ý Z.		(8)
	sin α sin β

9. Три(онометричес ие ф н ции половинно(о ар( мента

1°. sin	x--	= ä	1------–----cos-----------x- .
	2		2
2°. cos	x--	= ä	1------+----cos-----------x-- .
	2		2

3°. tg	x--	= ä		-1-----–----cos-----------x-- .
	2			1 + cos x
4°. tg	x--	=	1-----	--sin--------x-------- .
	2			+ cos x
5°. tg	x--	= 1-----		--–----cos---------x-- .
	2			sin x

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

182

10.Выражение три(онометричес их ф н ций через тан(енс половинно(о ар( мента

	2 tg x--
1°. sin x =	------------------2----	- .	(1)
	1 + tg2	x
		--
		2
	1 – tg2	x
		--
2°. cos x =	--------------------	--2- .	(2)

1tg2 x

+--

2

За м е ч а н и е. Область определения рассматриваемых фун - ций: x − π + 2πk, k Ý Z.

	2 tg x--
3°. tg x = ----	--------------2--	-- .	(3)
1	– tg2	x
		--
		2

1	– tg2	x
		--
4°. ctg x = ----	2-----tg---------x--	--2 .	(4)
	2

За м е ч а н и е. Формула (3) имеет смысл при x π + πk, x π +

−-- −

2

+2πk, k Ý Z, а формула (4) при x − πk, k Ý Z.

183

Тема 11

1.Ф н ция y = sin x

2.Ф н ция y = cos x

3.Ф н ция y = tg x

4.Ф н ция y = ctg x

5.Нахождение периодов три(онометричес их ф н ций

6.Обратная ф н ция

7.Ф н ция y = arcsin x

8.Ф н ция y = arccos x

9.Ф н ция y = arctg x

10.Ф н ция y = arcctg x

11.Не оторые соотношения для обратных три(онометричес их ф н ций

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Ф н ция y = sin x

1°. Область определения — множество всех действительных чисел.

2°. Множество значений — отрезо [–1; 1], т. е. синус — фун - ция о#раниченная.

3°. Фун ция нечетная: sin (–x) = –sin x при всех x Ý R.

4°. Фун ция периодичес ая с наименьшим положительным периодом 2π, т. е. sin (x + 2π) = sin x при всех x Ý R.

5°. sin x = 0 при x = πk, k Ý Z.

6°. sin x > 0 при всех x Ý (2πk; π + 2πk), k Ý Z.

7°. sin x < 0 при всех x Ý (π + 2πk; 2π + 2πk), k Ý Z.

	8°. Фун ция возрастает от –1 до 1 на промежут ах				π	+ 2πk;
					–--
					2
π
	+ 2πk		, k Ý Z.
--
2

184

9°. Фун ция убывает от 1 до

–1 на промежут ах

π

+ 2πk;

--

3π

+ 2πk

2

, k Ý Z.

------

2

10°. Фун ция принимает наи-

Рис. 58

большее значение, равное 1, в точ-

π

+ 2πk, k Ý Z.

ах x = --

2

11°. Фун ция принимает наименьшее значение, равное (–1),

в точ ах x = 3π + 2πk, k Z.

------ Ý

2

12°. Графи фун ции y = sin x изображен на рис. 58.

2. Ф н ция y = cos x

1°. Область определения — множество всех действительных чисел.

2°. Множество значений — отрезо [–1; 1], т. е. осинус — фун - ция о#раниченная.

3°. Фун ция четная: cos (–x) = cos x при всех x Ý R.

4°. Фун ция периодичес ая с наименьшим положительным периодом 2π, т. е. cos (x + 2π) = cos x при всех x Ý R.

5°. cos x = 0	π
	при x = -- + πk, k Ý Z.
	2
6°. cos x > 0	при всех x Ý		–	π	π	+ 2πk	, k Ý Z.
				--	+ 2πk; --
				2	2
7°. cos x < 0	при всех x Ý		π		3π	+ 2πk	, k Ý Z.
			--	+ 2πk; ------
			2		2

8°. Фун ция убывает от 1 до –1 на промежут ах [2πk; π + 2πk], k Ý Z.

9°. Фун ция возрастает от –1 до 1 на промежут ах [–π + 2πk; 2πk], k Ý Z.

10°. Фун ция принимает наи-
большее значение, равное 1, в точ-
ах x = 2πk, k Ý Z.
11°. Фун ция принимает на-
именьшее значение, равное (–1),
в точ ах x = π + 2πk, k Ý Z.
12°. Графи фун ции y = cos x
изображен на рис. 59.	Рис. 59

185

3. Ф н ция y = tg x

1°. Область определения — множество всех действительных чи-

π	+ πk, k Ý Z.
сел, роме чисел вида x = --
2

2°. Множество значений — вся числовая прямая, т. е. тан#енс — фун ция нео#раниченная.

3°. Фун ция нечетная: tg (–x) = –tg x при всех x из области определения.

4°. Фун ция периодичес ая с наименьшим положительным периодом π, т. е. tg (x + π) = tg x при всех x из области определения.

5°. tg x = 0 при x = πk, k Ý Z.

6°. tg x > 0 при всех x Ý			π	+ πk	, k Ý Z.
		πk; --
			2
7°. tg x < 0 при всех x Ý		π	+ πk; πk			, k Ý Z.
		–--
		2

8°. Фун ция возрастает на промежут ах

π

+ πk;

π

+ πk

,

–--

--

2

2

k Ý Z.

Рис. 60

9°. Графи фун ции y = tg x изображен на рис. 60.

4. Ф н ция y = ctg x

1°. Область определения — множество всех действительных чисел, роме чисел вида x = πk, k Ý Z.

2°. Множество значений — вся числовая прямая, т. е. отан- #енс — фун ция нео#раниченная.

3°. Фун ция нечетная: ctg (–x) = –ctg x при всех x из области определения.

186

4°. Фун ция периодичес ая с наименьшим положительным периодом π, т. е. ctg (x + π) = ctg x при всех x из области определения.

5°. ctg x = 0	π
	при x = -- + πk, k Ý Z.
	2
6°. ctg x > 0	при всех x Ý			π	πk	, k Ý Z.
			πk; -- +
				2
7°. ctg x < 0	при всех x Ý		π	+ πk; πk			, k Ý Z.
			–--
			2

8°. Фун ция убывает на промежут ах (πk; π + πk), k Ý Z.

Рис. 61

9°. Графи фун ции y = ctg x изображен на рис. 61.

5. Нахождение периодов три(онометричес их ф н ций

1°. Период фун ции: а) y = sin x равен 2π; б) y = cos x равен 2π; в) y = tg x равен π; #) y = ctg x равен π.

2°. Период фун ции, представляющей собой сумму непрерывных и периодичес их фун ций, равен наименьшему ратному периодов сла#аемых, если оно существует.

6. Обратная ф н ция

1°. Пусть фун ция y = f(x) монотонна в своей области определения D(f). То#да аждому значению x Ý D(f) соответствует единственное значение y Ý E(f) и обратно, аждое значение y Ý E(f) со-

187

ответствует единственному x Ý D(f). Значит, в этом случае можно построить новую фун цию, определенную на E(f) и та ую, что аждому y Ý E(f) ставится в соответствие x Ý D(f), удовлетворяющее уравнению y = f(x). Эту новую фун цию называют обратной по отношению фун ции y = f(x).

2°. Для нахождения фун ции, обратной данной y = f(x), надо выразить x через y: x = g(y), а затем записать полученную фун цию в общепринятой форму y = g(x).

3°. Отметим, что если фун ции y = f(x) и y = g(x) являются взаимно обратными, то область определения фун ции f совпадает с множеством значений фун ции g и, наоборот, область определения фун ции g — с множеством значений фун ции f, т. е. D(f) = E(g) и D(g) = E(f).

4°. Графи и взаимно обратных фун ций симметричны относительно прямой y = x (рис. 62).

5°. Рассмотрим, например, фун цию y = x2, заданную на промежут е (–×; 0]. На этом промежут е фун ция убывает и принимает все значения из множества [0; +×). Следовательно, для данной фун -

ции существует обратная. Из уравнения y = x2 находим x = y или x = –y ; та а переменная x может принимать толь о неположи-

тельные значения, то ис омая обратная фун ция имеет вид x = –	y .
Поменяв обозначения x на y и y на x, получим формулу y = –	x ,
#де x l 0, с помощью оторой и задается обратная фун ция.

Если же рассматривать фун цию y = x2, заданную на промежут е [0; +×), то обратной для нее служит фун ция y = x , #де

x l 0. На рис. 63 изображены #рафи фун ции y = x2 при x l 0 и #рафи обратной ей фун ции.

Рис. 62

Рис. 63

188

Рис. 64

Рис. 65

6°. Приведем дру#ие примеры взаимно обратных фун ций.

а) Фун ция f(x) = 2x на промежут е (–×; +×) возрастает и принимает все значения из множества (–×; +×). Поэтому она обрати-

x

ма. Графи и фун ции f(x) = 2x и обратной ей фун ции g(x) = --

2

изображены на рис. 64.

б) Фун ция f(x) = 4x на промежут-е [0; +×) возрастает и принимает все значения из множества [0; +×). Значит, она обратима. Графи и фун ции

f(x) = 4x и обратной ей фун ции g(x) =

= x4, #де x l 0, изображены на рис. 65. в) Фун ция f(x) = x3 + 1 на проме-

жут е (–×; +×) возрастает и принимает все значения из множества (–×; +×). Та им образом, фун ция f(x) обратима. Графи и фун ции f(x) = x3 + 1 и обрат-

Рис. 66

ной ей фун ции g(x) = 3 x – 1 изображены на рис. 66.

7. Ф н ция y = arcsin x

1°. Фун ция y = sin x на отрез е		π	π		возрастает и прини-
		–--	; --
		2	2

мает все значения из отрез а [–1; 1] (рис. 67, а). Поэтому фун ция

y = sin x на отрез е		π	π		обратима, т. е. имеет обратную фун -
	–--		; --
		2	2

189

Рис. 67

цию, оторую называют ар син сом и обозначают y = arcsin x. Геометричес и arcsin x означает величину у#ла (ду#и), за лючен-

но#о в промежут е		π	π		, синус оторо#о равен x.
		–--	; --
		2	2

2°. Графи фун ции y = arcsin x изображен на рис. 67, б. Этот

#рафи симметричен #рафи у фун ции y = sin x, x Ý

носительно прямой y = x.

3°. Отметим свойства фун ции y = arcsin x: а) D(arcsin) = [–1; 1];

б) E(arcsin) =		π	π		;
		–--	; --
		2	2

π π

–-- ; -- , от-

2 2

в) фун ция нечетная, т. е. arcsin (–x) = –arcsin x; #) фун ция возрастающая.

8. Ф н ция y = arccos x

1°. Фун ция y = cos x на отрез е [0; π] убывает и принимает все значения из отрез а [–1; 1] (рис. 68, а). Поэтому фун ция y = cos x на отрез е [0; π] обратима, т. е. имеет обратную фун цию, оторую называют ар осин сом и обозначают y = arccos x. Геометричес и arccos x означает величину у#ла (ду#и), за люченно#о в промежут-е [0; π], осинус оторо#о равен x.

2°. Графи фун ции y = arccos x изображен на рис. 68, б. Этот #рафи симметричен #рафи у фун ции y = cos x, x Ý [0; π], относительно прямой y = x.

190