Задачи с параметрами и методы их решения

Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Тема 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1. Уравнения с одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2. Понятие о равносильности уравнений . . . . . . . . . . . . . 21 3. Свойства числовых равенств и теоремы

о равносильности уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. Линейное уравнение с одной переменной, содержащее

параметр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Тема 4 . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		34
1.	Понятие фун ции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
2.	Монотонность фун ции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
3.	Четные и нечетные фун ции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	35
4.	Линейная фун ция и ее рафи . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
5.	Квадратичная фун ция и ее рафи . . . . . . . . . . . . . .	36
	k
6.	Фун ция y = -- и ее рафи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
	x
Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		38
Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . .		40
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		41
Тема 5 . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		42
1.	Квадратные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
2.	Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
3.	Уравнения с нес оль ими переменными . . . . . . . . . . .	43
4.	Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		45
Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . .		77
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		79

411

Тема 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1. Неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2. Основные свойства неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3. Действия с неравенствами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4. Решение линейных и вадратных неравенств . . . . . . . 83

Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 113 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Тема 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 1. Системы и сово упности неравенств . . . . . . . . . . . . . . 115 2. Решение рациональных неравенств методом

промежут ов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 144 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Тема 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 1. Применение теоремы Виета определению зна ов

орней вадратно о трехчлена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2. Расположение орней вадратно о трехчлена . . . . . . . 148 Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 167 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Тема 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 1. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2. Арифметичес ая про рессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3. Геометричес ая про рессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4. Сумма бес онечной еометричес ой про рессии

при |q| < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 174 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

412

Тема 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 1. Градусное и радианное измерение у ловых величин . . 176 2. Три онометричес ие фун ции числово о ар умента . . 177 3. Основные три онометричес ие тождества . . . . . . . . . . 179 4. Формулы приведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5. Формулы сложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6. Формулы двойно о ар умента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7. Преобразование произведения три онометричес их

фун ций в сумму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8. Формулы суммы и разности одноименных

три онометричес их фун ций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9. Три онометричес ие фун ции половинно о

ар умента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 10. Выражение три онометричес их фун ций через

тан енс половинно о ар умента . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Тема 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1. Фун ция y = sin x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2. Фун ция y = cos x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3. Фун ция y = tg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4. Фун ция y = ctg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5. Нахождение периодов три онометричес их фун ций . 187 6. Обратная фун ция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7. Фун ция y = arcsin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8. Фун ция y = arccos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9. Фун ция y = arctg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10. Фун ция y = arcctg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 11. Не оторые соотношения для обратных

три онометричес их фун ций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Тема 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1. Решение три онометричес их уравнений вида

sin x = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 2. Решение три онометричес их уравнений вида

cos x = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3. Решение три онометричес их уравнений вида

tg x = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 4. Решение однородных три онометричес их

уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5. Решение систем три онометричес их уравнений . . . . 197

413

Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 225 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Тема 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 1. Решение три онометричес их неравенств вида

sin x > α, sin x < α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 2. Решение три онометричес их неравенств вида

cos x > α, cos x < α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 3. Решение три онометричес их неравенств вида

tg x > α, tg x < α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 240 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Тема 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

242

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 1. Приращение ар умента и приращение фун ции . . . . . 242 2. Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 3. Производная суммы, произведения, частно о . . . . . . . 244 4. Производная степенной и сложной фун ции. . . . . . . . 245 5. Производные три онометричес их фун ций . . . . . . . . 245 6. Применение производной нахождению

промежут ов монотонности фун ции . . . . . . . . . . . . . 246 7. Критичес ие точ и фун ции, ее ма симумы

и минимумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8. Общая схема исследования фун ции . . . . . . . . . . . . . . 249 9. Задачи на отыс ание наименьше о и наибольше о

значений фун ции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10. Касательная рафи у фун ции . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 270 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Тема 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 1. Потерянные и посторонние орни при решении

уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 2. Решение иррациональных уравнений, посторонние

орни иррационально о уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 273 3. Иррациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

414

Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 297 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Тема 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 1. По азательная фун ция и ее свойства . . . . . . . . . . . . . 299 2. По азательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 3. По азательные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 4. Системы по азательных уравнений и неравенств . . . . 300

Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 316 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Тема 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 1. Понятие ло арифма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 2. Свойства ло арифмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

3.Ло арифмичес ая фун ция, ее свойства и рафи . . . 319

4.Теоремы о ло арифме произведения, частно о

и степени. Формула перехода новому основанию . . . 320 5. Ло арифмирование и потенцирование . . . . . . . . . . . . . 321 6. Ло арифмичес ие уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 7. Ло арифмичес ие неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 8. Производные ло арифмичес ой и по азательной

фун ций. Число e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 350 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Тема 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 1. Понятие первообразной фун ции. . . . . . . . . . . . . . . . . 353 2. Основное свойство первообразной фун ции . . . . . . . . . 354 3. Криволинейная трапеция и ее площадь . . . . . . . . . . . . 355 4. Формула Ньютона—Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 5. Основные правила инте рирования . . . . . . . . . . . . . . . 356 6. Вычисление площадей с помощью инте рала . . . . . . . 356

Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 366 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

415

Приложение 1

Те стовые задачи на составление равнений и неравенств с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 375 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

Приложение 2

Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . . 402 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Списо обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

Использованная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

416