Задачи с параметрами и методы их решения

4. Уравнение sin x = t2 имеет решение, если выполняется система неравенств

-------|a| l 2 ,

5

–a +

5a2 – 4 l –2,

(2)

–a +

5a2 – 4 m 2.

–1; – 2

Решением системы (2) являются значения a Ý

Ÿ

Ÿ

2 ; 2

.

5

5

5. Ответ: если a Ý (–×; –2) Ÿ (2; +×), то орней нет;

если a Ý [–2; –1], то

x = (–1)n + 1 arcsin a-----+--------

--5-----a--2----–-----4--

+ πn;

2

если a Ý –1; – 2

Ÿ

2

; 1 , то

5

5

x = (–1)

n

arcsin

–a ä

5a2 – 4

+ πn;

------------------

--

2-------------------

если a Ý [1; 2], то

n

arcsin

– a + 5a2 – 4

+ πn, n Ý Z.

x = (–1)

------------------2-------------------

5. При аждом значении параметра a решить уравнение

sin (x – a) – sin x = sin a.

(1)

1. Перенесем все члены уравнения (1) в левую часть и воспользуемся формулой разности синусов, а та же формулой синуса двойно#о у#ла. То#да получим

sin (x – a) – sin x – sin a = 0;

a	cos		a		a	a	= 0.
–2 sin --			x – --		– 2 sin --	cos --
2			2		2	2

2. Вынесем общий множитель за с об и:

a		cos		a		a		= 0,
sin --				x – --		+ cos --
2				2		2

201

от уда, применяя формулу суммы осинусов, имеем

			a	x	cos		x	a		= 0.	(2)
			sin --	cos --			--	– --
			2	2			2	2
3. Рассмотрим по отдельности аждый множитель в уравне-
нии (2):
a	= 0, т. е. a = 2πn, n Ý Z. В этом случае уравнение (1)
а) sin --
2
удовлетворяется при любом x Ý R;
x	= 0, т. е. x = π + 2πk, k Ý Z (независимо от значения
б) cos --
2
параметра a);
в) cos	x	a	= 0, т. е. x = π + a + 2πk, k Ý Z.
	-- –	--
	2	2
4. Ответ: если a = 2πn, n Ý Z, то x Ý R;
	если a − 2πn, n Ý Z, то
					x = π + 2πk и x = π + a + 2πk, k Ý Z.
6. При аждом значении параметра a решить уравнение
			sin 3x – a sin x = 0.								(1)
1. Выразим			sin 3x через		sin x,			используя формулу			sin 3x =
= 3 sin x – 4 sin3 x. То#да уравнение (1) примет вид
			3 sin x – 4 sin3 x – a sin x = 0,
или
			sin x (4 sin2 x – (3 – a)) = 0.								(2)

2. Решим уравнение (2):

а) sin x = 0, от уда x = πk, k Ý Z, это равенство не зависит от a, т. е. a Ý R.

б) 4 sin2 x – (3 – a) = 0. С помощью формулы 2 sin2 x = 1 – cos 2x

приведем это уравнение виду cos 2x =							a-----–------1-	, более удобному для
							2
анализа		чем уравнение sin x		= ä	3 – a		.
					-------2----	-----
в) Уравнение cos 2x = a-------–----1-				имеет решение, если –1 m a-----–------1-					m 1,
			2					2
т. е. –1 m a m 3. При этом
		x = ä1--	arccos a-------–----1-			+ πk, k Ý Z.
		2			2

202

#) Заметим, что значение a = 3 приводит уравнение 4 sin2 x –

– (3 – a) = 0 виду sin x = 0, что совпадает с уравнением из п. а). При записи ответа это следует учитывать.

3. Ответ: если a Ý (–×; –1) Ÿ [3; +×), то x = πk; если a Ý [–1; 3), то

x = πk и x = 1 arccos a – 1 + πk, k Z.

ä-- ------------ Ý

2 2

7. При аждом значении параметра b решить уравнение

sin4 x + cos4 x = b.

(1)

1. Понизим степень левой части уравнения (1). Для это#о воспользуемся формулой

m4 + n4 = (m2 + n2)2 – 2m2n2, #де m = sin x, n = cos x.

То#да уравнение (1) запишется в виде

(sin2 x + cos2 x)2 – 2 sin2 x cos2 x = b.

2. Упростив уравнение (2), получим

sin2 2x

1 – ------------------- = b, или cos 4x = 4b – 3.

2

(2)

(3)

3.Уравнение (3) имеет решение при условии –1 m 4b – 3 m 1,

т.е. 0,5 m b m 1.

1

4. Ответ: если b Ý [0,5; 1], то x = ä-- arccos (4b – 3) +

4

если b Ô [0,5; 1], то орней нет.

8. При аждом значении параметра c решить уравнение sin4 x + cos4 x + sin 2x + c = 0.

1. Приведем уравнение (1) виду

1 – 1 sin2 2x + sin 2x + c = 0,

--

2

или

π k

------ , k Ý Z;

2

(1)

sin2 2x – 2 sin 2x – 2c – 2 = 0.		(2)
2. Уравнение (2) сводится сово упности двух уравнений:
sin 2x = 1 –	2c + 3 ;	(3)
sin 2x = 1 +	2c + 3 .	(4)

203

3.Уравнение (3) имеет решение при условии –1 m 1 – 2c + 3 m m 1. Эти неравенства выполняются, если –1,5 m c m 0,5.

4.Правая часть уравнения (4) больше или равна 1. Поэтому оно имеет решение толь о в случае c = –1,5. То#да уравнение (4) принимает вид sin 2x = 1 и совпадает с уравнением (3) при c = –1,5.

5.Ита , уравнение (1) имеет те же решения, что и уравнение (3). Запишем эти решения:

x = (–1)	k 1	arcsin (1 –	π k	, k Ý Z.
	--		2c + 3 ) + ------
	2		2

6. Ответ: если c Ý [–1,5; 0,5], то

k 1		arcsin (1 – 2c + 3 ) +
x = (–1)	--
	2

если c Ô [–1,5; 0,5], то орней нет.

π k

------ , k Ý Z;

2

9. При аждом значении параметра a решить уравнение
cos2 x – 3 cos x + a = 0.	(1)

1.Решим данное уравнение а вадратное относительно осинуса, используя о#раничение –1 m cos x m 1.

2.Уравнение (1) сводится сово упности двух уравнений:

cos x = 3-------–--------	9-----–----4-----a ;
	2
cos x = 3-------+--------	9-----–----4-----a- .
	2
3. Уравнение (3) не имеет решений, та а		3-------+--------9-----–----4-----a-
		2

(2)

(3)

> 1 при

9 a m -- .

4

4. Для уравнения (2) должна выполняться система неравенств

		-----------------------------–1 m 3 – 9 – 4a m 1,
	2
		9 – 4a l 0.
5.	Решив систему (4), находим –4 m a m 2.
6.	Ответ: если a Ý [–4; 2], то x = ä arccos		3-------–--------9-----–----4-----a
			2

если a Ô [–4; 2], то орней нет.

(4)

+ 2πk, k Ý Z;

204

10. При аждом значении параметра c решить уравнение

cos 2x + (2c – 1) sin x + c – 1 = 0. (1)

1. Используя формулу cos 2x = 1 – 2 sin2 x, преобразуем уравнение (1) виду

2 sin2 x – (2c – 1) sin x – c = 0.

2. Уравнение (2) сводится сово упности двух уравнений: sin x = c;

1 sin x = –-- .

2

3.Уравнение (3) имеет решение, если c Ý [–1; 1]. То#да x = (–1)k arcsin c + πk, k Ý Z.

4.Уравнение (4) имеет решение

(2)

(3)

(4)

x = (–1)n + 1	π	+ πn, n Ý Z,
	--
	6

оторое не зависит от параметра c.

5. Ответ: если c [–1; 1], то x = (–1)n + 1 π + πn,

Ý --

6

x = (–1)k arcsin c + πk, n, k Ý Z; если c Ý (–×; –1) Ÿ (1; +×), то

x = (–1)n + 1	π	+ πn, n Ý Z.
	--
	6

11. При аждом значении параметра a решить уравнение

cos 2x + cos 4x = 2a cos x.

(1)

1. Применяя формулу суммы осинусов, преобразуем уравнение (1) виду

2 cos 3x cos x = 2a cos x.

(2)

2. После упрощения уравнения (2) получим

2 cos x (cos 3x – a) = 0.

(3)

3. Уравнение cos x = 0 имеет решение при всех a Ý R, а уравнение cos 3x – a = 0 — толь о при |a| m 1.

205

4.Ответ: если a Ý [–1; 1], то

π π 1 2π k

x = -- + n, x = ä-- arccos a + ---------- , n, k Ý Z;

2 3 3

π		πn, n Ý Z.
если a Ý (–×; –1) Ÿ (1; +×), то x = -- +
2
12. При аждом значении параметра m решить уравнение
(m – 1) cos2 x – 2(m + 1) cos x + 2m – 1 = 0.		(1)
1. Пусть cos x = t; то#да уравнение (1) примет вид
(m – 1)t2 – 2(m + 1)t + 2m – 1 = 0.		(2)
1	, т. е. cos x =
2. При m = 1 уравнение (2) имеет один орень t = --
4

1	. Отсюда
= --
4

1	+ 2πk, k Ý Z
x = äarccos --
4

(этот орень не зависит от параметра).

3. При m − 1 уравнение (2) имеет два орня:

t1 =	m + 1 – 5m – m2		;
	-------	-----------m------–-----1-------------------
t2 =	m + 1 + 5m – m2		,
	-------	-----------m------–-----1-------------------
если m Ý [0; 1) Ÿ (1; 5].
4. Решив неравенства
m + 1 – 5m – m2		m + 1 + 5m – m2		m 1,
–1 m ------------------------------------------------		m 1, –1 m ---------------	---m------–-----1-------------------
m – 1

(3)

(4)

можно найти о#раничения на m, при оторых уравнения cos x = t1

иcos x = t2 имеют решения.

5.Ответ: если m < 0 или m > 4, то орней нет;

если m = 1, то x = arccos 1 + 2πk;

ä --

4

если m Ý [0; 1) Ÿ (1; 4], то

m + 1 – 5m – m2 π

x = äarccos ------------------------------------------------ + 2 k, k Ý Z. m – 1

206

13. При аждом значении параметра a решить уравнение

			cos2 x – 2 sin x cos x – sin2 x = a.													(1)
1.	После перехода фун циям двойно#о ар#умента уравне-
ние (1) примет вид
					cos 2x – sin 2x = a.											(2)
2.	Упростив левую часть уравнения (2), получим
	sin		π		– sin 2x = a;					2	sin	π			= a,
			-- – 2x										-- – 2x
			2									4
или
					cos		2x +	π		=	a					(3)
								--			------- .
								4			2
3.																a
	Уравнение (3) имеет решение при условии –1 m ------- m 1, т. е.
																2
– 2 m a m 2 .
4.	Ита ,
			2x +	π	= äarccos			a		+ 2πk, k Ý Z.
				--				-------
				4					2
5.	Ответ: если a Ý [–					2 ; 2 ], то
										π	1		arccos		a	+ πk, k Ý Z;
							x = – --				ä --			-------
										8	2				2

если |a| > 2 , то орней нет.

14. При аждом значении параметра c решить уравнение

tg 2x – tg		π		= c.	(1)
		x – --
		4

1. Если использовать формулы тан#енса двойно#о у#ла и тан- #енса разности двух у#лов, то уравнение (1) преобразуется виду

----2-----tg---------x----	–	--tg-------x----–-----1--	= c.
1 – tg2 x		tg x + 1

2. Упростив уравнение (2), получим

tg2 x = c – 1 .

------------

c + 1

(2)

(3)

207

3. Если c = –1, то правая часть равенства (3) не определена. Вместе с тем при c = –1 уравнение (1) имеет вид

tg 2x – tg		π		= –1 (и е#о можно решать).
		x – --
		4

4. Вернемся уравнению (1) и преобразуем е#о с помощью формулы разности тан#енсов; то#да при c = –1 получим

sin

x

π

+ --

4

(4)

------------------------------------------------ = –1.

cos 2x cos

x

π

– --

4

5. Решим уравнение (4).

а) Используя формулу приведения, заменим cos

x

π

на

– --

4

sin

π

.

x + --

4

б) Значит, при cos

π

− 0 левую часть уравнения (4) мож-

x – --

4

1

но со ратить и привести е#о виду ----------------- = –1, т. е. cos 2x = –1.

cos 2x

π

в) Отсюда x = -- + πk, k Ý Z. Та ие значения x входят в ОДЗ

2

уравнения (4).

6. Вернемся уравнению (3). При c l 1 и c < –1 оно сводится

c – 1

и, значит,

уравнению tg x = ä ------------

c

+ 1

x = äarctg

c – 1

------------ + πk, k Ý Z.

c

+

1

7. Ответ: если c Ý (–×; –1) Ÿ [1; +×), то x = äarctg

c – 1

+ πk;

------------

c + 1

если c = –1, то x =

π

-- + πk, k Ý Z;

2

если c Ý (–1; 1), то орней нет.

15. При аждом значении параметра a решить уравнение

3 cos 2x – 8a sin 2x = –5.

(1)

208

1.Используя формулы sin 2x = 2 sin x cosx, cos 2x = cos2 x –

–sin2 x, 1 = sin2 x + cos2 x, преобразуем уравнение (1) виду

sin2 x – 8a sin x cos x + 4 cos2 x = 0.		(2)
2. Почленное деление уравнения (2)	на cos2 x приводит урав-
нению
tg2 x – 8a tg x + 4	= 0.	(3)

З а м е ч а н и я.

1.Уравнение (2) является однородным.

2.Необходимо убедиться, что деление на cos2 x не приводит потере или приобретению посторонних орней.

3.Решим уравнение (3). Находим

tg x = 4a ä 24a2 – 1 , #де 4a2 – 1 l 0.

Ита :

а) при –0,5 < a < 0,5 уравнение не имеет решений;

б) при a = –0,5 получаем tg x = –2, а при a = 0,5 получаем tg x = 2;

в) при a > 0,5 или a < –0,5 получаем tg x = 4a ä 24a2 – 1 . 4. Ответ: если a Ý (–0,5; 0,5), то орней нет;

если a = –0,5, то x = –arctg 2 + πk; если a = 0,5, то x = arctg 2 + πk; если a Ý (–×; –0,5) Ÿ (0,5; +×), то

x= arctg(4a ä 24a2 – 1 ) + πk, k Ý Z.

16.При аждом значении параметра a решить уравнение

3a sin 2x + (a + 1) cos 2x – 1 = 0.

(1)

1.Применив формулы синуса и осинуса двойно#о ар#умента

иосновное три#онометричес ое тождество, получим однородное уравнение второй степени относительно синуса и осинуса:

3a•2 sin x cos x + (a + 1)(cos2 x – sin2 x) – (cos2 x + sin2 x) = 0. (2)

2. После упрощения уравнения (2) приходим уравнению

(a + 2) sin2 x – 6a sin x cos x – a cos2 x = 0. (3) а) Если a = –2, то уравнение (3) примет вид

cos x (6 sin x + cos x) = 0.

209

Отсюда следует, что cos x = 0, x = π + πk, k Z; tg x = –1 ,

-- Ý --

2 6

x = –arctg 1 + πn, n Z.

-- Ý

6

б) Если a = 0, то уравнение (3) примет вид sin2 x = 0, т. е. x = = πm, m Ý Z.

в) На онец, если a − –2, a − 0, то обе части уравнения (3) можно

почленно разделить на cos2 x. Имеем

(a + 2) tg2 x – 6a tg x – a = 0,

от уда

tg x =

3----a-------ä---------

--2----a---(----5----a-----+----1----) .

(4)

a + 2

3. Решим уравнение (4):

а) При a = –1-- получаем tg x = –1-- , т. е.

5

3

x = –arctg

1--

+ πr, r Ý Z.

3

б) При a(5a + 1) > 0, т. е. при a Ý (–×; –2) Ÿ

–2; –

1

Ÿ (0; +×),

5--

находим

x = arctg 3----a-------ä-------------2--a---(----5----a-----+----1----) + πs, s Ý Z.

a + 2

4. Ответ: если a Ý (–×; –2)

Ÿ

–2; –

1

Ÿ (0; +×), то

5

x = arctg 3-------a----ä-------

----2----a---(----5----a-----+------1--)

+ πs, s Ý Z;

a + 2

если a = –2, то x = --π

+ πk, x = –arctg 1--

+ πn, k, n Ý Z;

2

6

если a = –

1--

, то x = –arctg --

1

+ πr, r Ý Z;

5

3

если a Ý

–

1

; 0

, то орней нет;

5--

если a = 0, то x = πm, m Ý Z.

17. В зависимости от значений параметра a решить уравнение

2 sin2 2x – 6a sin 2x cos 2x – 11 cos2 2x

=

2(2a + 1) cos 2x

–

1

. (1)

--------------------a----cos-----------2---x------(--2-----sin-----------2--x------–-----cos---------2----x----)---

------

----------

cos-----------2-----x----–----2-----sin-----------2----x-

a--

210