Задачи с параметрами и методы их решения

16. Решить неравенство

(a – 1) x m 0.

(1)

1.Понятно, что область определения есть x l 0.

2.Понятно та же, что ответ зависит от зна а множителя (a – 1).

3.При a m 1, очевидно, неравенству (1) удовлетворяет любое значение из области определения, т. е. x l 0.

4.При a – 1 > 0 левая часть неравенства (1) неотрицательна;

вданном случае x = 0 — единственное решение.

5.Ответ: если a m 1, то x l 0;

если a > 1, то x = 0.

17. В зависимости от значений параметра a решить неравенство

x + 4a > 5 ax .

(1)

1.Пусть a < 0; то#да, исходя из вида правой части неравенства, за лючаем, что x m 0. Но при та их a и x левая часть неравенства (1) отрицательна, и, значит, ни при а их отрицательных значениях a неравенство не имеет решений.

2.Пусть a = 0; то#да неравенству (1) удовлетворяет любое x > 0.

3.Пусть a > 0; то#да x l 0. Отсюда, в частности, следует, что x = 0 является решением неравенства. Кроме то#о, при та их значениях a и x данное неравенство равносильно неравенству

(x + 4a)2 > 25ax, т. е. x2 – 17ax + 16a2 > 0.		(2)
Неравенство (2) можно записать в виде
x	, a − 0.	(3)
(y – 1)(y – 16) > 0, #де y = --
a

4.Решив неравенство (3), находим, что y < 1, y > 16, и, значит, 0 < x < a, x > 16a.

5.Ответ: если a Ý (–×; 0), то решений нет;

если a = 0, то x Ý (0; +×);

если a Ý (0; +×), то x Ý [0; a) Ÿ (16a; +×).

18. В зависимости от значений параметра a решить неравенство

a + x + a – x > a.

(1)

1.При a m 0 неравенство (1) не имеет решений.

2.Пусть a > 0; то#да ОДЗ переменной x задается неравенствами

–a m x m a.

291

3.При та их значениях x возведем обе части неравенства (1)

ввадрат и получим неравенство

2 a2 – x2 > a2 – 2a.

(2)

4. Рассмотрим следующие три случая:

a2 – 2a < 0; a2 – 2a = 0; a2 – 2a > 0.

5.Пусть a2 – 2a < 0; то#да 0 < a < 2 и неравенство (2) справедливо при всех |x| m a.

6.Пусть a2 – 2a = 0, т. е. a = 2; то#да неравенство (2) примет вид

24 – x2 > 0, от уда следует, что |x| < 2.

7. Пусть a2 – 2a > 0, т. е. a > 2. То#да, возведя обе части неравенства (2) в вадрат, получим равносильное неравенство

4(a2 – x2) > a4 – 4a3 + 4a2,

или

x2 <	a3	(4 – a)	(3)
	----------------------- .
		4

а) Если a l 4, то неравенство (3) не имеет решений.

б) Если 2 < a < 4, то |x| <	a---------a----(--4-----–----a-----) и, а ле# о проверить,
	2
a---------	a----(--4-----–------a---) m a.
	2
8. Ответ: если a m 0 или a l 4, то решений нет;
если 0 < a < 2, то –a m x m a;
если a = 2, то –2 < x < 2;
если 2 < a < 4, то –a---------a----(--4-----–----a-----)		< x < a---------	a----(--4-----–------a---) .
	2		2

19. Для всех значений параметра a решить неравенство

x + a l x + 2.

1. Проведем #еометричес ое исследование неравенства (рис. 95). Построим #рафи и прямой y = x + 2 и «плавающей» параболы y =

= x + a с вершиной в точ е (–a; 0).

Данное неравенство выполняется для тех значений a, при оторых парабола и прямая имеют хотя бы одну общую точ у.

292

Рис. 95

2. Рассмотрим уравнение x + a = x + 2, т. е. x2 + 3x + 4 – a = 0.

Имеем x =	–----3-------ä-----------	4----a-----–----7- , #де a l	7--	. При a =	7--	уравнение имеет один
	2		4		4

орень x = –3-- . Это соответствует случаю асания параболы и прямой.
	2
	3. При a <	7--	неравенство не имеет решений.
		4
	4. Если a >	7--	, но a m 2, то парабола пересе ает прямую в двух
		4
точ ах; данное неравенство справедливо при
			–-----3------–---------4----a-----–----7-				m x m – 3 + 4a – 7 .----------------------------------
				2					2
	5. При a > 2 парабола пересе ает прямую толь о в одной точ е
x	= –-----3------+---------4----a-----–----7- и данное неравенство выполняется на отрез е [–a; x ].
2	2																		2
	6. Ответ: если a Ý				–×;	7		, то решений нет;
						4--
	если a =			7--	, то x = –3-- ;
				4				2
	если a Ý				7		, то x Ý					– 3 – 4a – 7		;	– 3 + 4a – 7						;
					-- ; 2					2-------------------------------			---		----------- 2-----------------------
					4
	если a Ý (2; +×), то x Ý											–a; – 3 +	4a – 7				.
													2
																		293

20. При а их значениях a < 0 неравенства
2 ax < 3a – x			(1)
и
x –	x	6	(2)
	--	> --
	a	a

имеют общие решения?

1.Та а по условию a < 0, а ax > 0, то x < 0.

2.Левая часть неравенства (1) положительна, поэтому и е#о правая часть должна быть положительна, т. е. x < 3a.

3.		6	>	x	, за-
	Анало#ично, записав неравенство (2) в виде x – --			--
		a		a
	6	< x.
лючаем, что --
	a
4.	Решим неравенство (1):

2ax < 3a – x, т. е. x2 – 10ax + 9a2 > 0 ^ x Ý (–×; 9a) Ÿ (a; 0).

Но мы установили, что x < 3a, следовательно, x Ý (–×; 9a). 5. Решим неравенство (2):

x

6

, т. е. x –

6

x

, т. е. x2

13x

36

> 0 ^

x – -- > --

-- >

--

– ----------

+ ------

a

a

a

a

a

a2

^ x Ý

–×;

9

Ÿ

4

.

--

-- ; 0

a

a

6

4

; 0).

Но мы установили, что x > --

, поэтому x Ý (--

a

a

6. Чтобы неравенства (1) и (2) имели общие решения, интерва-

лы (–×; 9a) и

4

; 0

4

--

должны иметь общие точ и, т. е. -- m 9a ^

a

a

4

2

m a < 0.

^ -- l a2, от уда –--

9

3

7. Ответ: a Ý

2

; 0 .

–--

3

21. Для всех значений параметра a решить неравенство

|x2 – 5x + 4| < a. (1)

1. Та а |x2 – 5x + 4| l 0 при любом x, то при a m 0 неравенство (1) не имеет решений.

294

2.Пусть a > 0. Пос оль у x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4), числовая прямая (ОДЗ данно#о неравенства) разбивается на три промежут-а: x < 1, 1 m x m 4, x > 4. Решим неравенство (1) на аждом из них.

3.Если x < 1, то x2 – 5x + 4 > 0, и в этом случае неравенство (1) равносильно системе

	x2 – 5x + 4 < a,	(2)
	x < 1.

а) Дис риминант вадратно#о трехчлена x2 – 5x + (4 – a) равен 9 + 4a и, следовательно, положителен при a > 0.

б) Решив неравенство x2 – 5x + 4 – a < 0, находим

1	(5 –	9	1	(5 +	9 + 4a ).
--			+ 4a ) < x < --
2			2

в) При аждом положительном a верны неравенства

1	(5 +	9 + 4a ) > 4,	1	(5 –	9 + 4a ) < 1.
--			--
2			2

1

#) Поэтому из системы (2) следует: аждое x та ое, что -- (5 –

2

–9 + 4a ) < x < 1 при всех a > 0 есть решение неравенства (1).

4.Если 1 m x m 4, то неравенство (1) на этом множестве равносильно неравенству

x2 – 5x + 4 + a > 0.

(3)

а) Дис риминант вадратно#о трехчлена x2 – 5x + 4 + a равен 9 – 4a.

б) Та им образом, неравенство (3) выполняется при любом дей-

9	9	, то решением нера-
ствительном x, если a > --	; если же 0 < a m --
4	4

1	(5 –	9 – 4a )
венства (3) являются все x из промежут ов –× < x < --
2

1

и-- (5 + 9 – 4a ) < x < +×.

2

9

в) Кроме то#о, при 0 < a m -- справедливы неравенства

4

1	(5 –	9	1	(5 +	9 – 4a ) < 4.
1 < --			– 4a ) m --
2			2

295

								9
	5. За лючаем, что в случае 1 m x m 4 при a > -- решением нера-
								4
								9	множество
венства (1) является отрезо 1 m x m 4, при 0 < a m --
								4
решений неравенства (1) состоит из двух промежут ов:
		1				1
	1 m x < -- (5 –				9 – 4a ), -- (5 + 9 – 4a ) < x m 4.
		2				2
	6. Если x > 4, то неравенство (1) равносильно системе
	x > 4,				x > 4,
			_	1				1		_
	x2 – 5x + 4 – a < 0				-- (5 –	9 + 4a ) < x < -- (5 +			9 + 4a )
					2			2
				1		(5 +		9 + 4a ).
		_ 4 < x < --
				2
	7. Ответ: если a m 0, то решений нет;
				9
	если 0 < a m -- , то
				4
1		(5 –	9	+ 4a ) < x <			1	(5 – 9 – 4a ),
--							--
2							2
1		(5 +	9	– 4a ) < x <			1	(5 + 9 + 4a );
--							--
2							2

9		1	(5 –					9			1		(5 +	9 + 4a ).
если a > --		, то --									+ 4a ) < x < --
4		2									2

Рис. 96

296

З а м е ч а н и е. Полученный ответ #еометричес и иллюстрируется на рис. 96:

а) положение I соответствует случаю a < 0;

9

б) положение II — случаю 0 < a m -- ;

4

9

в) положение III — случаю a > -- .

4

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Решить уравнение:

a – x	b + x	б) a – 6x = x – 1;
а) 4 ------------	– 4 ------------ = 2;
b + x	a – x
в) 3a – 2x + x = a;		#) 3 – x – 3 + x = a.
2. Решить уравнение:
а) x = x – a;		б) x + a = 1 – (x + a) ;
в) 1 – x = a2 – x2 ;		#) x + x2 – x = a.
3. Решить уравнение:

а)	x2 – 2x + 1 +	x2 + 4x + 4 = a;
б)	x2 + 6x + 9 –	x2 – 4x + 4 = a;

в) x + 2x – 1 – x + 3 – 4x – 1 = a.

4. Найти оличество орней уравнения

4 – x2 = x + a

взависимости от значений параметра a.

5.Решить неравенство:

а)	x – a2 + x l 2a;	б) 2ax – x2 l a – x;
в)	a + x + a – x < a;	#) 1 – x2 l 2x + a;

д) x + a l x + 1.

6. Найти все значения параметра a, при аждом из оторых не-

равенство x2 + 2ax + a2 + x2 < 2 имеет хотя бы одно положительное решение.

297

Ответы

1. а) x =	a – b(1 + 2)4	a – x	> 0; б) если a Ý (–×; 6), то нет орней;
	------------------------------------- , де	------------
	6(1 + 2)2	b + x

если a Ý [6; +×), то x = –2 + 3 + a ; в) если a m 0, то нет орней; если a > 0,

то x = a –	1 –	a + 1 ; ) если a Ý (–×; – 6 ) Ÿ ( 6 ; +×), то нет орней; если
a Ý [– 6	;	6 ], то x = –0,5a 12 – a2 . 2. а) Если a < –0,25, то нет орней;

если a = –0,25, то x = 0,25; если –0,25 < a m 0, то x1, 2 = 0,5(2a + 1 ä 4a + 1 ); если a > 0, то x = 0,5(2a + 1 + 4a + 1 ); б) если a Ý (–×; 0) Ÿ (0,5; +×), то нет орней; если a Ý [0; 0,5], то x = 0,5(1 – a – 2a – 3a2 ); в) если |a| < 0,52 , то нет орней; если |a| = 0,52 , то x = 0,5; если 0,52 < |a| m 1,

то x	= 0,5(1 ä 2a2 – 1 ); если |a| > 1, то x = 0,5(1 – 2a2 – 1 ); ) если a Ý
1, 2
Ý (–×; 0)		Ÿ (0,5; 1), то нет орней; если a Ý [0; 0,5)	a2
			Ÿ [1; +×), то x = ---------------- .
			2a – 1

3. а) Если a < 3, то нет орней; если a = 3, то x Ý [–2; 1); если a > 3, то

x= –0,5(a + 1), x = 0,5(a – 1); б) если a Ý (–×; –5) Ÿ (5; +×), то нет орней; если a = –5, то x Ý (–×; 3]; если a Ý (–5; 5), то x = 0,5(a – 1); если a = 5, то

xÝ [2; +×); в) если a Ý (–×; –1) Ÿ (3; +×), то нет орней; если a Ý [–1; 3),

то x = 0,5(a + 1)2 + 1; если a = 3, то x Ý [5; +×). 4. Если a Ý (–×; –2) Ÿ

Ÿ (22 ; +×), то нет орней; если a Ý [–2; 2) Ÿ {22 }, то один орень;

если a Ý [2; 2				2 ), то два орня. 5. а) Если a m 0, то x Ý [a2; +×); если a > 0,
то x Ý		25	a2; +×		; б) если a < 0, то (1 + 0,5 2 )a m x m 0; если a = 0, то
		------
		16

x = 0; если a > 0, то (1 – 0,52 )a m x m 2a; в) если 2 < a m 4, то –a m x <

< –0,5a4a – a2 , 0,5a4a – a2 < x m a; если a > 4, то –a m x m a; при остальных значениях a решений нет; ) если a < –2, то –1 m x m 1; если –2 m a m

m 2, то –1 m x m 0,2(5 – a2 – 2a); если 2 < a m 5 , то –0,4(5 – a2 + 2a) m m x m 0,4(5 – a2 – 2a); если a > 5 , то решений нет; д) если a m 0,75, то решений нет; если a = 0,75, то x = –0,5; если 0,75 < a m 1, то –0,5(1 + 4a – 3 ) m m x m 0,5(4a – 3 – 1); если a > 1, то –a m x m 0,5(4a – 3 – 1). 6. a Ý (–2,25; 2).

298

Рис. 97

Тема 16

1.По азательная ф н ция и ее свойства

2.По азательные равнения

3.По азательные неравенства

4.Системы по азательных равнений и неравенств

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 1. По азательная ф н ция и ее свойства

1°. Фун цию, заданную формулой вида y = ax, #де a — не оторое положительное число, не равное единице, называют по азательной.

2°. При a > 1 фун ция y = ax обладает следующими свойствами (рис. 97, а):

а) область определения — множество R всех действительных чисел;

б) множество значений — множество R+

всех положительных чисел; в) фун ция возрастает;

#) при x = 0 значение фун ции равно 1; д) если x > 0, то ax > 1;

е) если x < 0, то 0 < ax < 1. 3°. При 0 < a < 1 фун ция y = ax обла-

дает следующими свойствами (рис. 97, б): а) область определения D(f) = R;

б) множество значений E(f) = R+; в) фун ция убывает;

#) при x = 0 значение фун ции равно 1; д) если x > 0, то 0 < ax < 1;

е) если x < 0, то ax > 1.

299

2. По азательные равнения

1°. Уравнение, содержащее переменную в по азателе степени, называют по азательным. Простейшим примером по азательно- #о уравнения служит уравнение ax = 1, #де a > 0, a − 1.

2°. Решение по азательных уравнений вида af(x) = aϕ(x), #де a > 0, a − 1, основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x) = ϕ(x).

3°. Уравнение вида Aa2x + Bax + C = 0 с помощью подстанов и ax = y сводится вадратному уравнению Ay2 + By + C = 0.

3. По азательные неравенства

1°. Неравенство, содержащее переменную в по азателе степени, называют по азательным.

2°. Решение по азательных неравенств вида af(x) < aϕ(x), #де a > 0, a − 1, основано на следующих утверждениях:

а) если a > 1, то неравенства af(x) < aϕ(x) и f(x) < ϕ(x) равносильны; б) если 0 < a < 1, то неравенства af(x) < aϕ(x) и f(x) > ϕ(x) равносильны (это следует из то#о, что при a > 1 по азательная фун ция

возрастает, а при 0 < a < 1 убывает).

4. Системы по азательных равнений и неравенств

Известные способы решения систем ал#ебраичес их уравнений применяются и решению систем, содержащих по азательные уравнения и неравенства.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. При а их значениях параметра a уравнение
	9x – (4a + 2) · 3x – 5a2 + 34a – 24 = 0	(1)
имеет два различных решения?
1.	Положим 3x = t > 0. То#да уравнение (1) примет вид
	t2 – 2(2a + 1)t – 5a2 + 34a – 24 = 0.	(2)
2.	Найдем дис риминант вадратно#о уравнения (2):

D = (2a + 1)2 + 5a2 – 34a + 24 = (3a – 5)2.

----

4

300