Задачи с параметрами и методы их решения

5. Со#ласно требованию задачи, уравнение (1) должно иметь не более одно#о решения. Это будет выполнено при условии, о#да дис риминант уравнения (1) неположителен, т. е. о#да

D = (9a2 – 2)2 – 12(3a2 – 1) = (9a2 – 4)2 m 0.

6. Отсюда находим, что a			2	, a			=	2	. Одна о значение a		=
		1	= –--			2		--		1
			3					3
2		2	1				1
	–--
= –-- не подходит, та а 3		3	= -------		< -- .
3			3 9				2

2

7. Ответ: a = -- .

3

13. Фун ция f(x) =

		1	определена на отрез е [5; 7]. При
	x----2-----	–----4-----x----+-----a--

а их значениях параметра a наибольшее на этом отрез е значе-

1

ние фун ции f(x) не превосходит ------ ?

10

1.Фун ция f(x) определена на отрез е [5; 7] то#да и толь о то#- да, о#да вадратный трехчлен ϕ(x) = x2 – 4x + a не имеет орней на этом отрез е.

2.Графи ом вадратно#о трехчлена ϕ(x) при аждом фи сированном a является парабола, вершина оторой имеет абсциссу x = 2.

3.У азанный трехчлен ϕ(x) не будет иметь орней на отрез е [5; 7], если выполняется неравенство ϕ(5) · ϕ(7) > 0, т. е.

(5 + a)(21 + a) > 0.
Решив это неравенство, находим
–× < a < –21, –5 < a < +×.	(1)

4.Та а фун ция ϕ(x) на отрез е [5; 7] стро#о возрастает, то фун ция f(x) на этом же отрез е стро#о убывает.

5.Поэтому требование задачи будет выполнено, если справед-

ливо неравенство f(5) m	--1----	, т. е.	-----1-------	m	--1----	. Решив это неравенство,
	10		5 + a		10
находим
–× < a < –5, 5 m a < +×.							(2)

6.Учитывая неравенства (1) и (2), получаем ответ.

7.Ответ: a Ý (–×; –21) Ÿ [5; +×).

401

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Найти все значения параметров a и b, при оторых орни x1

иx2 уравнения:

а) x2 – (a2 + 3a + 1)x + 2a + b + 3 = 0 удовлетворяют системе

3x1 – 2x2 = 5, 2x1 + x2 = 8;

б) x2 + (2a – 7)x + b2 – 8b + 3a + 18 = 0 удовлетворяют системе

4x1 – x2 = 5, 2x1 + 3x2 = 13.

2. Найти все значения параметра a, при оторых совместна сис-

тема уравнений:
а)		1 + 2 cos x = 4a – 21 +		y ,		б)			31 + x + 1 = 5a – 2 tg2 y,
		2 – 2 y = 3a – 4 cos x;							4 tg2 y + 2 = 3a + 3 x
(в ответе у азать наименьшее из этих значений);
в)		2 + cos x = 4a – 6 · 2y2 ,			#)				31 + x2 – 2 = 4a – sin2 y,
		10 – 23 + y2 = a – 5 cos x;							–6 – 4 sin2 y = 5a – 32 + x2
(в ответе у азать наибольшее из этих значений).
3.	При а их значениях параметра a система уравнений
			6 · 2x2	+ 2 = 4a – sin y,
			5 sin y + 10 = a + 23 + x2
несовместна?
4.	При а их значениях параметра m имеет хотя бы одно реше-
ние система:
		x2 – 2mx + m2 – 1 = 0,				x2 – 2(m + 2) + m2 + 4m + 3 = 0,
а)		|x + 1| m 2;		б)		|x – 2| m 1?
5.	Найти значение k, при отором асательная у азанной

ривой y в точ е с заданной абсциссой x0 является одновременно

и асательной заданной параболе ϕ(x), если:

а) y = 3x2 + 5x + 4, ϕ(x) = 5x2 – 7x + k, x0 = 0; б) y = 3 + 2x – x3, ϕ(x) = x2 – 6x + k, x0 = –2.

402

6. При а их значениях параметра a орни уравнения

(a2 + 1)x2 – 2ax = 3

удовлетворяют неравенствам 0 < x1 < 1, |x2| < x1(1 – x2)?

5x + 2		–0,5
----------------		взяли
7. В области определения фун ции y = aa – a x + 2

все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения a, при оторых та ая сумма будет больше 5, но меньше 10.

8.При а их значениях параметра a #рафи фун ции f(x) =

=x4 + 2ax3 – 2x2 – 6ax имеет верти альную ось симметрии?

9. При а их значениях параметра a уравнение ax2 + 3x +

+2a2 – 3 = 0 имеет толь о целочисленные орни?

10.В зависимости от значений параметра a решить неравенство a – x > |1 – |x||.

11.Исследовать и решить неравенство:

2 – ax – x2

а) ---------------------------- < 3; 1 – x + x2

б) (a2 + a – 2)x2 + (2a2 + a + 3)x + a2 – 1 > 0; в) 3(a + 1)x2 – 6(a2 + a + 1)x + 7(a3 – 1) < 0.

12.Решить уравнение |2x + a| + |x – 2a| = 20.

13.При а их значениях параметра a имеет единственное решение система уравнений:

axy + x – y + 1,5 = 0, а) x + 2y + xy + 1 = 0;

ax2 + 2ax + y + 3a – 3 = 0, б) ay2 + x – 6ay + 11a + 1 = 0?

14. Найти все значения параметра a, при аждом из оторых неравенство:

а) 5 – (x – a)2 > |x| имеет хотя бы одно положительное решение; б) 3 – x2 > |x – a| имеет хотя бы одно отрицательное решение;

в) sin x > |x – a| имеет хотя бы одно решение на интервале (π ; π);

--

2

#) |x – a| < 16 – x2 имеет хотя бы одно отрицательное решение.

15. При а их значениях a сумма loga (1 + cos2 x) + loga (5 + cos2 x) будет равна 1 хотя бы для одно#о значения x?

16. При а их значениях a сумма log	3 + 2x2			5	+ 4x2
	--1-----	------------ + log		--1-----		-- -- -------- бу-
a		+ x2	a			+ x2

дет больше 1 для всех значений x?

403

17.Найти наибольшее значение параметра a, при отором уравнение x3 + 5x2 + ax + b = 0 с целыми оэффициентами имеет три различных орня, причем один из них равен (–2).

18.Установить, при а их значениях параметра a для всех допустимых значений x выполняется неравенство:

а) (sin x)lg ( sin x) – a2 > 10log100 ( 1 – cos2 x) + log7 a ; б) (cos x)log3 (cos x – a ) > 3log9 (1 – sin2 x) + a(a – 2) .

19. Найти все значения параметра a, при оторых:

а) фун ция y = 56x2 – 3ax + 1 – a имеет минимум в точ е x0 = –2,5;

б) фун ция y = 5– 6x2 + (a + 3)x + 5 – a имеет ма симум в точ-

1

е x0 = -- .

6

20. У азать все значения параметра a, при оторых уравнение loga x + logx a |a + loga x| = a logx a

имеет решения, и найти соответствующие решения.

Ответы

1. а) a1 = –4, b1 = 11; a2 = 1, b2 = 1; б) a1 = 1, b1 = 3; a2 = 1, b2 = 5. 2. а) 1; б) 0,5; в) 3; ) 1. 3. a Ý (–×; 2) Ÿ (3; +×). 4. а) m Ý [–4; 2]; б) m Ý [–2; 2].

5. а) k = 11,2; б) k = 17. 6. a Ý (–1,5; 1 –	3 ) Ÿ (1 +	3 ; +×). 7. a Ý	17------	; 11------	.
			5	3

8. a Ý {–2; 0; 2}. 9. a Ý {–0,5; 0; 1,5}. 10. Если a m –1, то x Ý ¾; если –1 < < a m 1, то x < 0,5(a – 1); если a > 1, то x < 0,5(a + 1). 11. а) Если a < –1, то

x < 3--------------------------– a –		D- , x > 3---------------------------– a + D , де D = (a – 7)(a + 1); если a = –1, то –× < x <								1-- ,
	8	8								2
1	< +×; если –1 < a < 1, то x Ý R; если a = 7, то –× < x < –						1	, –	1	<
-- < x							--		--
2							2		2
< x < +×; если a > 7, то x < 3--------------------------– a – D-			, x > 3---------------------------– a +		D ; б) если a < –2, то x <
		8		8
< ------------1 – a	, x > a------------+ 1 ; если a = –2, то x > – 1--			; если –2 < a < – 1-- , то		a------------+ 1		< x <
a + 2		1 – a	3		5	1 – a
< ------------1 – a	; если a = – 1-- , то x Ý ¾; если – 1--			< a < 1, то ------------1 – a < x <		a------------+ 1		; если
a + 2		5	5		a + 2	1 – a
a = 1, то x > 0; если a > 1, то x < a------------+ 1			, x > ------------1 – a ; в) если a < – 5--			, то x Ý R;
		1 – a		a + 2	4

404

	если a = – 5-- , то –× < x < – 21------ , –				21------	< x < +×; если – 5-- < a < –1, то x <
		4		4	4		4
	<	-------------------------------------------------3(a2 + a + 1) + D	, x > 3------------------------------------------------(a2 + a + 1) –			D- , де D = 3(a2	+ a + 1)(4a + 5)(2 – a);
		3(a + 1)		3(a + 1)
	если a = –1, то –		7	< x < +×; если –1 < a < 2, то			3(a2 + a + 1) – D	< x <
			3--				------------------------------------------------3(a + 1) -
	<	3(a2 + a + 1) + D	; если a l 2, то x Ý ¾. 12. Если a Ý (–×; –8) Ÿ (8; +×), то
		-------------------------------------------------3(a + 1)

x Ý ¾; если a = –8 или a = 8, то x = 4; если a Ý (–8; –4), то x = –3a – 20,

x = a---------------+ 20- ; если a Ý [–4; 4), то x = a---------------+ 20- , x = a---------------– 20 ; если a Ý [4; 8), то x =
3	3	3
= –3a + 20, x = a---------------– 20 . 13. а) a Ý {0,5(–7 ä 4		2 ); –0,5; 1}; б) a Ý {0; ä0,25 2 }.
	3
14. а) a Ý (–	5 ; 5,25); б) a Ý (–3,25; 3); в) a Ý ( --π – 1; π); ) a Ý (–4 2 ; 4).
		2

15. a Ý [5; 12]. 16. a Ý (1; 8]. 17. 7. 18. а) a Ý (0; 1]; б) a Ý (0; 2). 19. а) a =

=–10; б) a = –1. 20. Если 0 < a < 1, то уравнение имеет два орня: x1 =

=a1 – a – 1 и x2 = a1 – 1 + 3a ; при остальных значениях a орней нет.

405

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

N — множество натуральных чисел Z — множество целых чисел

Z0 — множество целых неотрицательных чисел

Q — множество рациональных чисел

R — множество действительных чисел

R+ — множество действительных неотрицательных чисел

[a; b] — зам нутый промежуто (отрезо ) с началом a и онцом b, a < b

(a; b) — от рытый промежуто (интервал) (a; b], [a; b) — полуинтервалы

(a; +×), [a; +×), (–×; b), (–×; b] — бес онечные промежут и (–×; +×) — числовая прямая ^ — зна следования

_ — зна равносильности (э вивалентности) Ý — зна принадлежности ô — зна в лючения

— зна объединения множеств

— зна пересечения множеств ¾ — пустое множество

f(x) — фун ция

f(x0) — значение фун ции в точ е x0

D(f) — область определения фун ции f E(f) — множество значений фун ции f ОДЗ — область допустимых значений

|x| — модуль (абсолютная величина) числа x {x} — число x есть элемент множества

{ — зна системы [ — зна сово упности

(xn) — числовая последовательность

— арифметичес ая про#рессия

406

— #еометричес ая про#рессия

∆x, ∆y — приращение ар#умента, приращение фун ции f′(x) — производная фун ции f(x)

ymin — минимум фун ции ymax — ма симум фун ции

min f(x) — наименьшее значение фун ции на отрез е [a; b]

[a; b]

max f(x) — наибольшее значение фун ции на отрез е [a; b]

[a; b]

loga b — ло#арифм числа b по основанию a lg b — десятичный ло#арифм

ln b — натуральный ло#арифм

e — основание натуральных ло#арифмов (e d 2,7)

b

∫ f(x) dx — инте#рал от a до b фун ции f(x)

a

407

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Але сандров Б. И., Моденов П. С. Пособие по математи е для под отовительных урсов МГУ. М., 1967.

2.Але сандров Б. И., Лурье М. В., Ма симов В. М. Пособие для под отов и письменному э замену по математи е в МГУ. М., 1972.

3.Але сандров Б. И., Лурье М. В., Ма симов В. М. Э заменационные задачи по математи е. М., 1969.

4.Але сандров Б. И., Ма симов В. М., Лурье М. В., Колесничен-о А. В. Пособие по математи е для поступающих в вузы. М.,1972.

5.Амель ин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Мн.,

1996.

6.Андреянов П. А. , Глад их И. М., Са итов Р. Ф. Варианты заданий по математи е на вступительных э заменах в РЭА им. Г. В. Плеханова в 1999—2004. М., 2005.

7.Анисимова Н. Т. Математи а (справочни для абитуриентов МБИ). М., 2002.

8.Бабайцев В. А., Васен ова Е. К. и др. Под ред. Бабайцева В. А. и Рылова А. А. Методичес ое пособие по математи е для поступающих

вФинансовую а адемию. М., 2003.

9.Вавилов В. В., Мельни ов И. И., Олехни С. Н., Пасичен о П. И.

Задачи по математи е. Уравнения и неравенства. М., 1987.

10.Ваховс ий Е. Б., Рыв ин А. А. Задачи по элементарной математи е. М., 2004.

11.Высоц ий И. Р., Звавич Л. И., Пи арев Б. П. и др. Под ред. Шеста ова С. А. Ал ебра и начала анализа. Сборни задач для под о- тов и и проведения ито овой аттестации за урс средней ш олы. М., 2005.

12.Говоров В. М., Дыбов П. Т., Мирошин Н. В., Смирнова С. Ф.

Сборни он урсных задач по математи е. М., 2006.

13.Денищева Л. О. и др. Под ред. Ковалевой Г. С. Единый осударственный э замен. М., 2002.

14.Денищева Л. О., Глаз ов Ю. А., Краснявс ая К. А., Рязанов- с ий А. Р., Семенов П. В. Единый осударственный э замен по математи е. М., 2004.

15.Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. Х. Пособие по математи е для поступающих в вузы. М., 1976.

408

16.Дыбов П. Т., Забоев А. И., Калиничен о Д. Ф. Сборни задач по математи е. М., 1972.

17.Дыбов П. Т., Ос ол ов В. А. Задачи по математи е для поступающих в вузы (с у азаниями и решениями). М., 2006.

18.Камалова Р. А., Паршев Л. П., Стру ов Ю. А. Типовые заданияон урсных э заменов по математи е. М., 1996.

19.Крамор В. С. Повторяем и систематизируем ш ольный урс ал-ебры и начал анализа. М., 2005.

20.Крамор В. С. Примеры с параметрами и их решения. М., 2001.

21.Крамор В. С., Лун у К. Н. Повторяем и систематизируем ш ольный урс три онометрии. М., 2001.

22.Крамор В. С., Лун у К. Н., Лун у А. К. Математи а. Типовые варианты. Примеры на вступительных э заменах. М., 2000.

23.Кутасов А. Д., Пи ол ина Т. С., Чехлов В. И., Я овлева Т. Х.

Под ред. Я овлева Г. Н. Пособие по математи е для поступающих в вузы. М., 2002.

24.Кущен о В. С. Сборни он урсных задач по математи е с решениями. Л., 1968.

25.Лидс ий В. Б., Овсянни ов Л. В., Тулай ов А. Н., Шабунин М. И.

Задачи по элементарной математи е. М., 1969.

26.Литвинен о В. Н., Морд ович А. Г. Задачни -пра ти ум по математи е. М., 2005.

27.Ло оть В. В. Задачи с параметрами. М., 2003.

28.Ляпин С. Е., Баранова И. В., Борчу ова З. Г. Сборни задач по элементарной ал ебре. М., 1973.

29.Ма симов В. М. Пособие по математи е для поступающих в МГУ. М., 1972.

30.Моденов В. П. Математи а. Пособие для поступающих в вузы. М., 2002.

31.Морд ович А. Г. Ал ебра и начала анализа. М., 2002.

32.Нестерен о Ю. В., Олехни С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных э заменов по математи е. М., 1980.

33.Солодовни ов А. С., Родина М. А. Задачни -пра ти ум по ал-ебре. М., 1985.

34.Шахмейстер А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами. СПб., М., 2004.

35.Ястребинец ий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М., 1972.

409

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		3
Тема 1 . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		6
1.	Натуральные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
2.	Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
3.	Обы новенные дроби. Правильные и неправильные
	дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
4.	Множество целых чисел, множество рациональных
	чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
5.	Модуль числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
6.	Возведение рациональных чисел в степень
	с натуральным по азателем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
7.	Свойства степени с натуральным по азателем. . . . . . .	8
8.	Числовые выражения. Выражения с переменными.
	Тождественно равные выражения . . . . . . . . . . . . . . . .	9
9.	Одночлены. Мно очлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
10.	Формулы со ращенно о умножения . . . . . . . . . . . . . .	9
Задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		10
Задачи для самостоятельно о решения . . . . . . . . . . . . . . .		12
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		12
Тема 2 . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		13
1.	Дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
2.	Целые и дробные выражения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
3.	Понятие об иррациональном числе . . . . . . . . . . . . . . .	14
4.	Числовые промежут и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
5.	Корень k-й степени из действительно о числа . . . . . . .	14
6.	Преобразования арифметичес их орней . . . . . . . . . .	15
7.	Степень с целым и дробным по азателем. . . . . . . . . . .	16

410