Вопросы к заданию 12

1. Какие инженерные задачи по избранной специальности требуют вычисления определенных интегралов?

2. Какова геометрическая интерпретация методов прямоугольников?

3. Как оценить абсолютную погрешность интегрирования по методам прямо-угольников?

4. Если можно аналитически оценить погрешность интегрирования по методу прямоугольников, то как следует выбрать число интервалов интегрирования при заданной предельной абсолютной погрешности?

ЗАДАНИЕ 13. МЕТОД ТРАПЕЦИЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

13-1. Вычислить приближенное значение интеграла при заданном числе

интервалов с помощью метода трапеций. Оценить абсолютную погрешность по методу Рунге и относительную погрешность результата. Построить график подынтегральной функции.

13-2. Вычислить приближенное значение интеграла с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,01 с помощью метода трапеций. Определить число интервалов интегрирования, при котором достигается требуемая точность. Построить график подынтегральной функции. Оценить относительную погрешность конечного результата.

Использовать исходные данные из предыдущего задания.

Указания к выполнению работы.

Используется тот же порядок расчета, что и для методов прямоугольников. Структура таблицы исходных данных и расчетных таблиц аналогичны. Формула трапеций имеет вид .

Вопросы к заданию 13

1. Как получить результаты вычисления определенного интеграла по методу трапеций, если известны результаты его вычисления по методам правых и левых прямоугольников при том же числе интервалов?

2. Докажите, что метод трапеций более точен, чем методы прямоугольников, и объясните причину.

3. Как аналитически вычислить предельную абсолютную погрешность интег-рирования по методу трапеций?

ЗАДАНИЕ 14. МЕТОД СИМПСОНА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

14-1. Вычислить приближенное значение интеграла при заданном числе интервалов с помощью метода Симпсона. Оценить абсолютную погрешность по методу Рунге и относительную погрешность результата. Построить график подынтегральной функции.

14-2. Вычислить приближенное значение интеграла с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,001 с помощью метода Симпсона. Определить число интервалов интегрирования, при котором достигается требуемая точность. Построить график подынтегральной функции. Оценить относительную погрешность результата.

Использовать исходные данные из предыдущих заданий по вычислению определенного интеграла.

Указания к выполнению работы.

Формула Симпсона имеет вид:

Поэтому в отличие от предыдущих методов вычисления по методу Симпсона требуют табулирование функции отдельно по четным и нечетным номерам точек. Расчетная таблица имеет следующий вид.

i		для четных i	для нечетных i

В расчетной таблицу необходимо проводить логический анализ на четность номера точки внутри интервала интегрирования и применять соответствующие встроенные функции. В остальном порядок расчета тот же, что и для предыдущих заданий по интегрированию.

Для задания 14-1 значение шага определяется дважды: для числа интервалов n и для удвоенного числа интервалов . Соответственно строятся две таблицы и интеграл вычисляется дважды, затем его приближенные значения сравниваются по правилу Рунге.

Для задания 14-2 принять начальное значение числа интервалов n = 4. После вычисления интеграла значение шага нужно уменьшать вдвое и повторно вычислять в отдельной таблице значение интеграла до тех пор, пока абсолютная погрешность, оцененная по правилу Рунге, не станет меньше предельно допустимой.