Вопросы к заданию 3

1. Приведите графическую интерпретацию метода касательных при различных знакахина отрезке неопределенности.

2. Что должна содержать таблица исходных данных?

3. Как определить начальное приближение для метода касательных? В чем отли-чие при выборе начального приближения в этом методе от метода хорд?

4. Какая из границ отрезка неопределенности остается неподвижной при исполь-зовании метода касательных?

5. Какие условия остановки используется?

ЗАДАНИЕ 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4-1. Для интервала неопределенности определить, к какой из границ будет применен метод касательных и метод хорд для уравнения. Уточнить корень уравнениякомбинированным методом хорд и касательных, выполнив число шагов. Определитьи относительныепогрешности для полученного решения. Построить график изменения этих погрешностей в зависимости от числа шаговi.

4-2. Для интервала неопределенности определить, к какой из границ будет применен метод касательных и метод хорд для уравнения. Уточнить корень уравнениякомбинированным методом хорд и касательных с абсолютной погрешностью не превышающей 0,0001, и относительной погрешностью не превышающей 0,0005 Построить графики изменения погрешностейив зависимости от числа шаговi. Определить число шагов вычислительного процесса n для достижения требуемой точности по двум указанным критериям.

Исходное уравнение выбрать из таблицы вариантов задания для метода хорд.

Указания к выполнению работы.

Для каждой границы отрезка необходимо определить значение функции и второй производной. Затем в зависимости от знаков функции и производной необходимо выбрать, к какой из границ применим метод хорд, а к какой метод касательных. Структуру расчетной таблицы для комбинированного метода необходимо разработать самостоятельно. Абсолютная погрешность оценивается длиной нового отрезка неопределенности, полученного на каждом шаге. Границы нового отрезка образованы внутренними точками предыдущего отрезка, найденные по этим двум методам.

Первым критерием остановки является сокращение длины отрезка из двух внутренних точек на каждом шаге (после применения обоих методов) до величины, меньшей или равной . По второму критерию остановка производится при. В качестве окончательного решения по каждому из критериев нужно выбрать середину последнего полученного отрезка.

Вопросы к заданию 4

1. По какому правилу производится выбор метода, применимый к определенной границе отрезка неопределенности? Для каких функций это правило справедливо?

2. Почему критерий остановки для комбинированного метода отличается от критерия остановки по методам хорд и касательных?

3. Почему в качестве окончательного решения принимается середина полученного отрезка неопределенности? Что этим достигается?

4. Сравнить скорость сходимости для методов хорд, касательных и комбинированного метода по числу требуемых шагов.

5. Какая мастер – функция Excel используется для проверки критериев остановки?

ЗАДАНИЕ 5. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

5-1. Отделить графически один из корней уравнения . Преобразовать исходное уравнение к виду. Проверить аналитически достаточные условия сходимости метода и при необходимости преобразовать уравнение. Уточнить корень методом простых итераций, взяв число итераций. Оценить абсолютнуюи относительныепогрешности для полученного решения. Построить график изменения этих погрешностей в зависимости от числа шаговi.

5-2. Отделить графически один из корней уравнения . Преобразовать исходное уравнение к виду. Проверить аналитически достаточные условия сходимости метода, и при необходимости преобразовать уравнение. Выбрать в качестве начального решения один из концов найденного отрезка. Уточнить корень методом простых итераций с абсолютной погрешностью, не превышающей величину 0,00001 и относительной погрешностью, не превышающей величину 0,004%. Построить графики изменения абсолютнойи относительнойпогрешностей в зависимости от числа шаговi вычислительного процесса. Определить требуемое число шагов для достижения требуемой точности по двум указанным критериям.

Варианты исходных уравнений приведены в таблице.

Вариант	Уравнение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

Указания к выполнению работы.

Привести исходное уравнение к виду можно различными способами. Важно, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости преобразованного уравнения:на выделенном отрезке неоп-ределенности.

Расчеты необходимо оформить в виде таблицы, приведенной ниже.

					Условие остановки	Условие остановки

Сходимость (расходимость) итерационного процесса определяется по уменьшению (увеличению) абсолютной погрешности. Если процесс расходится, то необходимо его повторить, выбрав в качестве начального решения другую границу интервала. Если вычисление некоторых функций в итерационном процессе невозможно (например, логарифм от отрицательного числа не существует), то необходимо более точно найти интервал неопределенности .