Вопросы к заданию 8

1. Сформулируйте задачу интерполирования функций. Какие инженерные задачи по избранной специальности могут быть сведены к задаче интерполирования табличных функций?

2. Запишите в общем виде полином Лагранжа. В чем состоит его определение?

3. Как построить СЛУ для вычисления коэффициентов полинома Лагранжа?

4. Какова размерность СЛУ для поиска коэффициентов полинома Лагранжа, как размерность системы соотносится с числом заданных узловых точек?

5. Чему равно значение полинома Лагранжа в узловых точках? Как проверить правильность нахождения его коэффициентов?

6. В чем недостаток полинома Лагранжа, ограничивающего его практическое применение?

ЗАДАНИЕ 9. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ТАБЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

9-1. Определить аналитическое выражение многочлена по методу наименьших квадратов для исходных данных, заданных в таблице для предыдущего задания. Систему линейных уравнений решить методом Крамера. Определить приближенные значения функции при заданных значениях аргументаи.

9-2. Определить аналитическое выражение многочлена по методу наименьших квадратов для исходных данных, заданных в таблице для предыдущего задания. Систему линейных уравнений решить методом обращения матрицы. Определить приближенные значения функции при заданных значениях аргументаи. Найти среднеквадратичное уклонение многочленаот табличной функции.

Указания к выполнению работы.

Коэффициенты полинома требуемой степени определяются путем решения системы линейных уравнений. Поэтому вначале необходимо сформировать СЛУ, записав матрицу коэффициентов при неизвестных и столбец свободных членов. Решить СЛУ предложенным методом. Записать полученный полином и вычислить его значения при заданных значениях аргумента и. Для определения среднеквадратичное уклонение найденного многочленаот табличной функциив узловых точкахнеобходимо построить следующую таблицу.

i

Вопросы к заданию 9

1. Какой критерий близости многочлена к узловым точкам исходной таблицы используется для построения полинома в методе наименьших квадратов?

2. Как соотносится степень полинома, полученного по методу наименьших квадратов, с количеством узловых точек? Какова требуемая степень полинома для данного задания?

3. Как построить систему линейных уравнений для определения коэффициентов полинома?

4. Что характеризует среднеквадратичное отклонение полинома от табличной функции в узлах таблицы?

ЗАДАНИЕ 10. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

10-1. Проверить достаточные условие сходимости для заданной системы линейных уравнений (СЛУ). При необходимости преобразовать СЛУ. Решить СЛУ методом простых итераций, выполнив 3 шага итерационного процесса. Оценить абсолютную погрешность результата .

10-2. Проверить достаточные условие сходимости метода простых итераций для заданной СЛУ. При необходимости преобразовать СЛУ. Решить СЛУ методом простых итераций с абсолютной погрешностью не более 0,001. Определить требуемое число шагов вычислительного процесса. Вывести график изменения абсолютной погрешности для каждого уравнения и для всей СЛУ в зависимости от числа шагов вычислительного процесса и график изменения относительной погрешностидля всей СЛУ. Сравнить окончательное решение с точным решением, полученным методом обращения матрицы.

Использовать исходные данные из таблицы вариантов для решения СЛУ по правилу Крамера.

Указания к выполнению работы.

Проверка достаточных условий сходимости итерационной последовательности может проводиться различными способами. Один из них состоит в проверке доминирования по модулю элементов на главной диагонали для матрицы коэффициентов при неизвестных, составленной для исходной СЛУ. Если такие условия не выполняются, то следует преобразовать исходную СЛУ с помощью линейных операций.

После преобразования СЛУ для удовлетворения достаточных условий сходимости и перед применением итерационных методов необходимо еще раз преобразовать СЛУ так, чтобы в левой части каждого уравнения оставались переменные с номером соответствующего уравнения. Для СЛУ система должна принять вид:

В качестве начального приближения может быть выбран вектор свободных членов.

Расчеты проводить в следующей таблице.

Условие остановки по

Здесь – номер итерации; значения ,,- текущие решения СЛУ;,,- правые части первого, второго и третьего преобразованный уравнений;,,- текущие оценки абсолютной погрешности для,,;=max(,,) – это оценка абсолютной погрешности всей СЛУ на текущей итерации; =- относительная погрешность решения всей СЛУ (используется для построения графика). Условие остановки состоит в анализе <. Это условие будет выполнено, если существует покомпонентная сходимость, т.е. наблюдается уменьшение погрешности для каждой переменной с ростом числа итераций.

Кривые изменения оценок абсолютных погрешностей для каждой переменной и в целом для СЛУ в зависимости от числа итераций должны располагаться на одном графике, а кривая относительной погрешности – на другом графике.