Вопросы к заданию 10

1. Запишите систему линейных уравнений с исходными данными для определенного варианта задания.

2. К какому классу методов решения СЛУ относится метод простых итераций?

3.Что означает сходимость итерационного процесса применительно к решению СЛУ?

4. Сформулируйте достаточные условия сходимости СЛУ для метода простых итераций.

5. Какие действия нужно предпринять, если достаточные условия сходимости, проверенные на исходной СЛУ, не выполняются?

6. К какому виду необходимо привести СЛУ, чтобы можно было применить итерационные методы?

7. Какое решение можно принять в качестве начального?

8. В каком случае необходимо остановить вычислительный процесс?

9. Какие столбцы можно добавить в расчетную таблицу, чтобы упростить вычисление ?

10. Какова оценка относительной погрешности после 3, 4, 5 шагов итераций для этого метода? Выписать результаты.

ЗАДАНИЕ 11. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

11-1. Проверить достаточные условие сходимости метода Зейделя для заданной СЛУ. При необходимости преобразовать исходную СЛУ. Решить СЛУ методом Зейделя, выполнив 3 шага итерационного процесса. Оценить абсолютную погрешность результата.

11-2. Проверить достаточные условие сходимости метода Зейделя. При необходимости преобразовать исходную СЛУ. Решить СЛУ методом Зейделя с абсолютной точностью не ниже 0,001. Определить требуемое число шагов вычислительного процесса. Вывести график изменения абсолютной погрешности для каждого уравнения и в целом по всей СЛУ в зависимости от числа шагов вычислительного процесса и график изменения относительной погрешностидля всей СЛУ.

Исходные данные взять из таблицы вариантов для решения СЛУ по правилу Крамера.

Указания к выполнению работы.

В отличие от метода простых итераций полученное частичное решение (значения некоторых переменных) на определенной итерации сразу же используется на этой итерации для определения других переменных. Расчеты следует оформить в виде таблицы, заголовки которой совпадают с заголовками таблицы расчетов по методу простых итераций.

Вопросы к заданию 11

1. В чем состоят отличия метода Зейделя от метода простых итераций?

2. Сформулируйте достаточные условия сходимости метода Зейделя.

3. Какие действия нужно предпринять, если достаточные условия сходимости не выполняются?

4.Что означает покомпонентная сходимость итерационного процесса?

5. В чем состоит условие остановки вычислительного процесса для данного задания?

6. Может ли метод Зейделя сходиться, если достаточные условия сходимости не выполняются?

7. Сравнить скорость сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.

8. Каковы оценки относительной погрешности после 3, 4, 5 шагов для методов простых итераций и для метода Зейделя? Какие выводы можно сделать на основе их сравнения?

ЗАДАНИЕ 12. МЕТОДЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

12-1. Вычислить приближенное значение интеграла при заданном числе интервалов с помощью методов правых и левых прямоугольников. Оценить абсолютную погрешность по правилу Рунге и относительную погрешность результата. Построить график подынтегральной функции.

12-2. Вычислить приближенное значение интеграла с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,01 с помощью методов правых и левых прямоугольников. Определить число интервалов интегрирования, при котором достигается требуемая точность. Построить график подынтегральной функции. Оценить относительную погрешность результата.

Таблица с вариантами приведена ниже.

Вариант	Интеграл
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

Указания к выполнению работы.

В таблице исходных данных Excel задаются границы интервала и шаг интегрирования. Расчет сводится к табулированию подынтегральной функции с определенным шагом и вычислению интеграла по формулам:

(”левых” прямоугольников),

(”правых” прямоугольников).

Расчеты оформить в двух таблицах Excel следующего вида.

i

Здесь i – номер точки на заданном отрезке интегрирования (удобно начинать отсчет с номера i = 0); - значение точки на отрезке интегрирования, изменяющееся с определенным шагом;- значение подынтегральной функции в рассматриваемой точке исходного отрезка интегрирования. В отдельных ячейках вычисляются суммы значений подынтегральной функции и приближенное значение интеграла.

Для задания 12-1 значение шага определяется дважды: для числа интервалов n и для удвоенного числа интервалов (т.е. при уменьшенном вдвое шаге). Соответственно строятся две таблицы и интеграл вычисляется дважды, затем его приближенные значения сравниваются по правилу Рунге и определяется погрешность численного интегрирования.

Допустимо расчет оформлять в виде одной таблицы, дополнив ее столбцом для значений функции при числе интервалов, а табулирование проводить сразу с половинным шагом. При этом значение функциидля числа шаговn в промежуточных точках должны быть равны нулю. Это достигается применением встроенной функции, определяющей четность номера точки.

Для задания 12-2 принять начальное значение числа интервалов n = 4. После вычисления интеграла значение шага нужно уменьшать вдвое и повторно вычислять в отдельной таблице значение интеграла, затем оценить погрешность результата. Уменьшение числа шагов и повторное вычисление интеграла производится до тех пор, пока абсолютная погрешность, оцененная по правилу Рунге, не станет меньше предельно допустимой.