mat.analiz_1

Позначення похідної y′(x0 ) вперше запропонував французький

	математик Лагранж,	він також ввів термін «похідна». Для похідної
	застосовують також	і такі позначення:	dy	,	df (x0 )	– позначення
			dx		dx

Лейбніца, або D y, Df (x0 ) – позначення Коші.

З означення похідної випливає алгоритм знаходження похідної:

1)	надати аргументу x0 деякого приросту	x , тобто ввести в розгляд
	точку x0 + x ;
2)	обчислити приріст функції f (x0 ):= f (x0 +	x)− f (x0 );

3)	знайти відношення приросту функції до приросту аргументу
	y	=	f (x0	+ x) − f (x0 )			;
	x				x
4)	знайти границю цього відношення					+ x) − f (x0 )
	lim	y	= lim		f (x0			.
		x				x
	x→0		x→0

Якщо дана границя існує і скінченна, то вона і дорівнює похідній f '(x0 ) . Отже похідна функції в точці – це число. Якщо в кожній точці деякого проміжку X існує похідна, то можна говорити про похідну як про функцію від змінної x X .

Приклади. Використовуючи означення, знайти похідну функції:

1. y = C .

Розв’язання. 1) x0 , x ;

2)y (x0 )= y (x0 + x)− y (x0 )= C −C = 0 ;

	3), 4) lim	y (x0 )	= lim	0	= 0 .
		x		x
	x→0		x→0

Отже, .

2. y = sin x

Розв’язання. 1) x0 , x ;

2) y (x0 )= y (x0 + x)− y (x0 )= sin (x0 + x)−sin x0 =

200

= 2sin 2x cos 2x0 2+ x = 2sin 2x cos x0 + 2x ;

			2sin	x		+	x
	y(x0 )			2	cos x0		2
3), 4) lim		= lim							= cos x .
x→0	x	x→0			x				0

Тут ми використали першу «чудову» границю і неперервність функції y = cos x .

Отже,

(sin x)′ = cos x.

3.

y = cos x .

x

x

;

y = cos(x + x) − cos x = −2sin x +

2

sin

2

2sin

x

+

x

y = −lim

2

sin x

2

x

lim

= −limsin x +

= sin x.

x

x→0

x

x→0

x→0

2

Отже,

(cos x)'= −sin x .

4.

Показникова функція

: y = ax .

Розв’язання.

1)

x0 ,

x ;

2)

y(x0 )= ax0 +Δx −ax0 = ax0 a x −ax0 = ax0 (a x −1);

y(x0 )

ax0 (a x −1)

x

3), 4)

lim

= lim

= a

0 ln a .

x

x

x→0

x→0

Отже,

(ax )′ = ax ln a .

Наслідок:

(ex )′ = ex .

Остання рівність показує,

особливу властивість:

що число

e має

показникова функція з основою e має похідну, яка співпадає з самою функцією. Цим і пояснюється той факт, що в математичному аналізі за основу степеня і основу логарифмів використовують переважно число e. Це дуже зручно, оскільки значно спрощуються обчислення.

201

	5.	Степенева функція: y = xn , n N .
	Розв’язання. 1) x0 , x ;
	2) y(x0 ) = y(x0 + x)− y(x0 ) =				n(n −1)
	= (x0 + x)n − x0 n = x0 n + n x0 n−1 x +					x0 n−2 x2	+…+
					2!
			n(n −1)
	+Δxn − x0	= n x0 n−1 x +		x0 n−2	x2 +…+ xn ;
		2!

3), 4) lim y(x0 )

x→0 x

+ n(n −1)x0 n−2 x

2!

	n x0n−1 x +		n(n −1)		x0n−2	x2		+…+ xn
= lim		2!							= lim(n x0n−1 +
					x
x→0									x→0
+…+ xn−1 = nx0 n−1 + 0 +…+ 0 = nx0 n−1 .
Отже,			(xn )′	= n xn−1
			.

Пізніше покажемо, що ця формула правильна і для довільного дійсного числа n .

6.

Довести, що функція y =

x

у точці x = 0 похідної немає.

Доведення.

y = y(0 +

x) − y(0) =

x

,

y

x

1,

x > 0,

=

=

x < 0

.

x

x

−1,

Звідси випливає, що

y

при

x →0 границі не має. Це відношення має

x

правосторонню границю, яка дорівнює одиниці, і лівосторонню границю, яка дорівнює мінус одиниці.

Означення 17.2. Нехай функція f (x) визначена в деякому околі точки x0 і нехай x O(x0 ). Функція f (x) називається

202

диференційовною в точці x = x0 , якщо її приріст в цій точці можна подати у вигляді:

		(17.4)
де A – стала, яка не залежить від x , α (	x) – нескінченно мала
функція при x →0 .
Приклад 7. Довести, що функція f (x)= 3x2	+ x +1 диференційовна
в точці x0 .
Доведення. Обчислимо приріст функції в точці x0 :
f (x0 )= f (x0 + x)− f (x0 )= 3(x0 + x)2 + x0 + x +1−3x02 − x0 −1 =
= 3 x(2x0 + x)+ x = 6x0 x +3 x2 + x = x(6x0 +1)+3 x		x.
Тут A = 6x0 +1; α ( x)= 3 x . Оскільки α(	x) → 0 при	x →0 , то

функція диференційовна в кожній точці x числової прямої.

Теорема 17.1. Означення 17.1 і 17.2 диференційовної функції в точці рівносильні, тобто для того, щоб функція y = f (x) була диференційовною в точці, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.

Доведення:
1). Нехай функція f (x)		диференційовна в точці x за означенням
17.1, тоді ця функція в точці x має похідну f ' (x) :
lim	f (x) = f ' (x)	f (x) − f ' (x) =α( x)	нескінченно мала
x→0	x	x
функція при	x →0 ,

f (x)	= f ' (x) +α( x) f (x) = f ' (x) x +α( x) x .
x

Отже, функція f (x) диференційовна в точці x за означенням 17.2.

	′
Роль числа A тут виконує f (x) .
2). Нехай функція	f (x) диференційовна в точці x за означенням
17.2. Тоді вираз y = A	x +α( x) x поділимо на x ≠ 0, матимемо:

203

y	= A + α( x)		x ,	а	границя	цього	відношення
x	y	x
lim		= lim(A +α(		x))= A, тобто в точці x		функція	f (x) має похідну
x→0	x	x→0
f '(x) , причому			f '(x) = A, отже функція f (x) диференційовна в точці

x за означенням 17.1.			■
У формулі (17.4) приріст функції містить							два доданки			f '(x) x і
α( x) x, які є нескінченно малими функціями при									x →0 . Але ці
нескінченно малі функції не однакового порядку малості, оскільки
	lim	α(	x) x	= lim	α( x) = 0,				(17.5)
	x→0	f ' (x) x		x→0	f ' (x)
тобто α(	x) x є нескінченно мала функція вищого порядку малості,
′	x .
ніж f (x)
Тому перший доданок у рівності (17.4) називається головною
частиною приросту функції.
Означення 17.3.			Лінійна		відносно		x частина			приросту
диференційовної			функції в точці x називається диференціалом
цієї функції в точці x і позначається
					.		(17.6)
Диференціалом незалежної змінної x називається приріст цієї
незалежної змінної :				dx =		′	x =1		x = x).
					x (dx := (x)
			′
							,
	df (x) = f (x)dx

тобто похідна функції в точці x дорівнює відношенню диференціала цієї функції в точці x до диференціала аргументу.

Приклад 8. Знайти диференціали функцій: 1). y = C; dy = 0 ;

2). y = xn ; dy = nxn−1dx ; 3). y = sin x; dy = cos xdx.

204

Приклад 9. При достатньо малих x приріст функції f (x) можна замінити її диференціалом df (x) з як завгодно малою відносною похибкою, оскільки виконується умова (17.5):

	f (x0 ) ≈ df (x0 ),
або	.	(17.7)

Ця рівність застосовується для наближених обчислень, оскільки обчислити диференціал функції простіше, ніж приріст функції.

Знайдемо,

наприклад, наближене

значення

4 17 . Для цього

1

x =17.

розглянемо функцію y =

4

x = x

,

4

Нехай

x0

=16 .

Тоді

y(16) = 4 16 = 2;

x =17 −16 =1;

′

1

′

1

3

1

1

′

4

−

′

4

4

y (x) = (

x )

= x

=

4

x

=

x3

; y (16) =

32

.

44

Отже, 4 17 ≈ 4 16 + 321 1 = 2 + 321 = 2,03125.

Теорема17.2 (необхідна умова диференційовності). Якщо функція f (x) диференційовна в точці x , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Нехай			в	точці	x існує		похідна f '(x) = lim	f (x)	.
							x→0	x
Знайдемо границю приросту функції:
lim	f (x) = lim	f (x)		x = lim	f (x)	lim	x = f ' (x) 0 = 0 .
x→0	x→0	x		x→0	x	x→0

Отже, згідно з четвертим означенням функція f (x) неперервна в точці x .

Односторонні похідні.

Означення 17.4. Нехай функція y = f (x) визначена на пів відрізку [x0 ,b) ((a, x0 ]). Кажуть, що функція f (x) в точці x0

205

має праву (ліву) похідну, якщо в цій точці існує права (ліва) границя

lim	f (x) − f (x0 )	= lim	f (x0 )	,	lim	f (x) − f (x0 )	= lim	f (x0 ) .
			x
x→x0 +0	x − x0				x→x0 −0	x − x0		x
		x→0+0					x→0−0
Тоді з означення 17.4 і означення похідної випливає: для того, щоб
в точці x0	існувала похідна функції				f (x) , необхідно і достатньо, щоб в

цій точці існувала права і ліва похідна цієї функції, і права похідна дорівнювала лівій похідній.

Приклад

10.

Розглянемо

функцію

y =

x

, x0 = 0. Обчислимо

односторонні похідні в точці x0 = 0 :

1.

lim

x

−

0

= lim

x

=1,

x −0

x

x→0+0

x→0+0

2.

lim

x

−

0

= lim

−x

= −1.

x −0

x

x→0−0

x→0−0

Отже,

функція

y =

x

в точці

x0 = 0 не

має похідної, тобто вона є

недиференційовною в точці x0 = 0 , хоча вона і неперервна в цій точці.

Якщо функція f (x) в точці x0 має праву похідну, то ця функція в точці x0 є неперервною справа, оскільки

lim	f (x ) = lim		f (x0 ) x = lim		f (x0 ) lim x = 0 .
x→0+0	0	x→0+0	x	x→0+0	x	x→0+0

Аналогічно доводиться неперервність функції в точці x0 зліва.

Нескінченні похідні.

Означення 17.5. Нехай функція y = f (x) визначена в околі точки

x . Якщо при x →0	відношення f (x0 )	має одну з трьох
0	x

нескінченних границь: а) ∞; б) +∞; в) −∞, то кажуть, що функція f (x) в точці x0 має нескінченну похідну, яка дорівнює ∞, +∞, −∞

.

206

Теорема 17.3. Якщо функція f (x)						неперервна в околі точки x0 ,
то одностороння		нескінченна			похідна в			точці		x0	може
дорівнювати тільки +∞, або −∞.
Доведення проведемо методом від супротивного. Нехай в точці x0
функція f (x) має нескінченну праву похідну:
	lim	f (x) − f (x0 )		= ∞.
	x→x0 +0	x − x0
Тоді M > 0 δ > 0, x : 0 < x − x <δ							f (x) − f (x0 )		> M .	(17.8)
		0					x − x0
Відношення	f (x) − f (x0 )		є неперервною функцією від								x . Якби
	x − x0

воно змінювало знак у довільному малому околі точки x0 , то за першою теоремою Больцано–Коші це відношення обов’язково перетворювалося б у нуль в точках xk , які лежать справа від точки x0 і

знаходяться як завгодно близько від точки

x0 ,

xk → x0

(k → ∞) .

Оскільки

f (xk ) − f (x0 )

= 0 , то

нерівність

(17.8)

не

може

бути

xk − x0

f (x) − f (x0 )

правильною x (x ; x +δ) . Тоді

lim

= +∞ (−∞) .■

0

0

x→x0 +0

x − x0

1

x

= 0.

Приклад 11. Розглянемо

функцію y = x3 ,

Відношення

0

приросту функції до приросту аргумента дорівнює

X

1

= 1

→ +∞, x → 0,

Y

f (x) − f (0) = x3

x − 0

x

x2 / 3

1

отже

функція

y = x3

в

точці

Рис. 17.1

x0 = 0

має нескінченну похідну,

яка дорівнює +∞(рис.17.1).

207

	12). y =			x ,			x0 = 0 .		Y
	f (x) − f (0)	=		x		=	1	→ +∞, x → 0 + 0 ,
	x −0			x
							x		X
отже, в		точці					x0 = 0 існує		права
нескінченна похідна (рис.17.2).									Рис. 17.2
			2
				,		x	= 0 .
	13). y = x3
						0

Y

X

									Рис. 17.3
	f (x) − f (0)	= x		2	= 1		+∞,	x → 0 + 0,
				3					(рис.17.3).	■
							→
							−∞, x → 0 −0.
	x −0		x			3 x

Розглянувши приклади, може скластись враження, що неперервні функції в інтервалі (a,b) не мають похідної лише в окремих точках цього інтервалу. Однак це не так. В останній чверті минулого століття німецький математик Вейєрштрасс побудував функцію, неперервну в інтервалі (a,b) і недиференційовну в кожній точці цього інтервалу. Виходячи з геометричного змісту похідної, важко собі уявити графік такої функції. Цей факт свідчить про те, що в ряді питань аналізу, пов’язаних з нескінченністю, небезпечно покладатись на інтуїцію і наочність.

208

План:

1.Геометричний і механічний зміст похідної і диференціала.

2.Похідна і диференціал суми, добутку і частки функцій.

3.Похідна і диференціал складеної функції.

4.Економічний зміст похідної.

Геометричний і механічний зміст похідної і диференціала.

Поняття похідної і диференціалу функції в даній точці зв’язані з поняттям дотичної до графіка функції в цій точці.

Означити дотичну до незамкненої кривої як пряму, яка має з кривою лише одну спільну точку (так, до речі, означалась дотична до кола), не можна. Наприклад, для параболи y = x2 координатні осі мають з нею лише одну спільну точку, однак інтуїтивно зрозуміло, що вісь ординат ( x = 0) не є дотичною до цієї кривої. А якщо розглянути криву y = sin x , то прямі y = ±1 мають з нею безліч спільних точок (а не одну!) і є дотичними до синусоїди в кожній із цих точок.

	дотична	Отже		розглянемо			довільну
		криву l і точки M0 ,				M l		(рис.
	M0	18.1).
		Проведемо		пряму		M 0 M ,		яку
T	M	назвемо січною.
		Нехай		точка	M		рухається
	M	вздовж	кривої l		до	точки		M0 .
		При	цьому		січна		M 0 M ,
	Рис. 18.1
		приймаючи різні

209