mat.analiz_1

ІІІ. Базисні функції.

Базисні функції

Елементарні функції

Алгебраїчні функції

Трансцендентні функції

Раціональні функції

Ірраціональні функції

Дробово раціональні

Рис 6.3. Класифікація функцій

функції

80

I.	Лінійна функціяyy = ax + b			y
		a >0			b = 0
		a =0				a = 0
			x		α	x
	−b 0	−b		O	−b
					a
	a	a		a ≠ 0, b ≠ 0

1.D( y) = (−∞;+∞).

2.E( y) = (−∞;+∞).

3.При a > 0 функція зростає ; a < 0 спадає;

4.Ox: ( − ba ;0), Oy: (0;b).

5.tgα = a – кутовий коефіцієнт.

II.Квадратична функція y = ax2 + bx + c, а ≠ 0

D > 0		a > 0	y	a < 0
	y
	c	−b	O	x1	−b	x2	x
			c		2a
		2a
	O x1		x
		x2
D = 0	y		y
			O		−b		x
					2a
		−b
	O	2a	x

81

D < 0	y
−	D	−b
	4a		x
	O	2a
	ax2 +bx +c > 0, x R

		y	−b
		O		x
	−	D	2a
		4a
		ax2 +bx +c < 0, x R

1. D( y) = (−∞;+∞).

		D				, a > 0,
	−		;+∞
		4a
	2. E( y) =
				D		, a < 0.
	−∞;−
				4a

3. Якщо b ≠ 0, то y(x) не парна і не непарна;

Якщо b = 0, то y(x) = ax2 + c парна.
	−∞;−	b
4. При a > 0 функція y(x) спадає на				і зростає на
		2a

		b						b
	−		;+∞ . При a < 0 функція y(x) зростає на				−∞;−			і
		2a
					b			2a
спадає на				−		;+∞ .
					2a

5.При a > 0 : y(x) вгнута, a > 0 : y(x) опукла.

III.Показникова функція y = ax, a > 0, a ≠ 1

y	y = ax	y
		y = ax
	0 < a <1	a >1
	1	1	x
O	x	O

1. D( y) = (−∞;+∞).

82

2.E( y) = (0;+∞): ax > 0, x R .

3.При a > 1 y(x) зростає, 0 < a < 1 y(x) спадає.

4.Функція вгнута.

IV. Логарифмічна функція y = loga x, a > 0, a ≠ 1
y			y
			y = loga x
			0 < a <1
O	1	x	1	x
			O
	y = loga	x
	a > 0

1.D( y) = (0;+∞).

2.E( y) = (−∞;+∞).

3.При a>1 y(x) зростає, при 0<a<1 y(x) спадає.

4.Якщо a>1, то y(x) опукла, якщо 0<a<1, то y(x) вгнута.

V. Дробово лінійна функція y = ax +b
	y		cx + d	y
a < 0	a		a > 0
	c	− d		a
				c
	O	c	x	O d b		x
		b
		− a		c	a
	y			y

O	x	O	x
y = a	, a > 0	y = a	, a < 0
x		x

83

1.

D( y) =

−∞;− d

− d

;+∞ .

c

c

2.

E( y) =

−∞; a

a

;+∞ .

c

c

b

3.

Функція не парна і не непарна, якщо a = d = 0, то y =

–

непарна.

cx

4.

При а > 0 – y(x) спадає, а < 0 – y(x) зростає на кожному з

проміжків області визначення.

5.

Ox:

−b

;0 ,a ≠ 0 . Oy:

0; b

, d

≠ 0 .

a

d

6.

При а > 0 y(x) опукла на −∞;− d

і вгнута на

− d ;+∞ . При а <

−∞;− d

c

− d

c

0 y(x) вгнута на

і опукла на

;+∞ .

c

c

VI. Тригонометрична функція y = sin x

y

π

3π

− 2

O π

2

2π x

−2π − 3π −π

π

2

2

1. D( y) = (−∞;+∞).

2.

E( y) =[−1;1],

sin x ≤1, x R.

3.

Періодична T=2π.

4.

Непарна sin(−x) = −sin x .

−

π

+ 2πn;

π

5. y(x) зростає на

2

2

+ 2πn і спадає на

π

+ 2πn;

3π

+ 2πn

, n Z .

2

2

ymin = −1 при x = −π + 2πn, n Z .

6.

ymax =1 при x =

π

+ 2πn ,

2

2

84

7.y(x) опукла на (2πn;π + 2πn) і вгнута на (π + 2πn; 2π + 2πn), n Z .

8.sin x > 0, x (2πn;π + 2πn); sin x < 0, x (−π + 2πn;2πn);

sin x = 0 x =πn,n Z .
9.	Ox: (πn,0), n Z , Oy: (0;0).
VII. Обернена тригонометрична функція y = arcsin x
				y
				π
				2
				−1	1	x
1.	D( y) =[−1;1].			−	π
					2
2.	E( y) = −	π	; π	.
		2	2
3.	Непарна: arcsin (−x)= arcsin x .
4. y(x) зростає на [−1;1].
5.	Функція опукла на [ 1;0) і вгнута на (0;1].
6.	Ox: (0;0), Oy: (0;0).
VIII. Тригонометрична функція y = cos x
					y
				− 3π
				2 −π	π	π	π	3π	π	x
			−2π		− 2	O 2
								2	2
1. D( y) = (−∞;+∞).
2.	E( y) =[−1;1].
3.	Періодична: T=2π.
4.	Парна: cos(−x) = cos x.

85

5. y(x) зростає на (π + 2πn; 2π + 2πn), y(x) спадає на

(2πn;π + 2πn), n Z .

6.

ymax

=1 при x = 2πn, n Z ,

ymin

= −1 при x =π +2πn, n Z .

π

π

7. y(x) опукла на −

+ 2πn;

+ 2πn , і вгнута

2

2

π

3π

, n Z .

+ 2πn;

+ 2πn

2

2

8. cos x >

−

π

+ 2πn;

π

;

0, x

2

2

+ 2πn

π

3π

π

cos x

< 0, x

+

2πn;

+

2πn

;

cos x = 0 x =

+πn, n Z .

2

2

2

π

,

n Z , Oy: (0;1)

9. Ox:

2

+πn; 0

IX. Обернена тригонометрична функція y = arccos x.

1.D( y) =[−1;1].

2.E( y) =[0;π].

3.Функція не парна і не непарна: arccos (−x)= π − arccos x.

y

π

π

2

−1 O	1 x

4.y(x) спадає на [−1;1].

5.Функція опукла на (0;1] і вгнута на [–1;0).

6.Ox: (1;0), Oy: (0; π2 ).

86

X. Тригонометрична функція y = tg x

y

3π

−π

π

O

π

π

x

−

3π

− 2

2

2

2

1.

D( y) =

−

π

+πn;

π

+πn

, n Z

2

2

2.E( y) = (−∞; +∞).

3.Періодична Т=π.

4.Непарна: tg(−x) = −tg(x).

5.y(x) зростає на кожному проміжку області визначення.

6.Точок екстремуму немає.

			π				π
	7. y(x) опукла на	−		+πn;πn	і вгнута на	πn;		+πn	, n Z .
			2				2

8.	tgx >0, якщо x	πn;	π	+πn	;	tgx <0, якщо x	−	π	+πn;πn	;
			2					2

tgx = 0 x =πn, n Z .

9. Ox: (πn, 0), n Z , Oy: (0;0).

XI. Обернена тригонометрична функція y = arctg x

y

π

2

O		x
−	π
	2

87

1.D( y) = (−∞; +∞)

2.E( y) = −π ; π

2 2

3.Непарна: arctg(−x) = −arctgx

4.y(x) зростаюча на R .

5.Точок екстремуму немає.

6.Функція опукла на (0;+∞) і вгнута на (−∞;0) .

7.Ox: (0;0), Oy: (0;0).

XII.Тригонометрична функція y = ctg x
		y
−2π − 3π	−π	O	π	π	3π x
2	2		2		2
1. D( y) = (πn;π +πn), n Z .			2. E( y) = (−∞; +∞).

3.Періодична T=π. 4. Непарна: ctg(−x) = −ctg(x) .

5.y(x) спадає на кожному проміжку області визначення.

6.Точок екстремуму немає.

	π					π
	7. y(x) опукла на		+πn;π +πn і вгнута на		πn;		+πn	, n Z .
		2				2

8. ctgx >0, якщо x			πn;	π	+πn	; ctgx < 0, якщо
π				2
	+		; ctgx = 0 x =				π	+πn, n Z .
x		πn;π +πn					2
2

9.Ox: π +πn; 0 , n Z .

2

88

XIII. Обернена тригонометрична функція y = arcctg x

y

π

π

2

O

x

1.D( y) = (−∞; +∞)

2.E( y) = −π ; π

2 2

3.Непарна: arctg(−x) = −arctgx

4.y(x) зростаюча на R .

5.Точок екстремуму немає.

6.Функція опукла на (0;+∞) і вгнута на (−∞;0) .

7.Ox: (0;0), Oy: (0;0).

89