mat.analiz_1

положення, прямуватиме до деякого граничного положення M0T, яке не залежить від того, як точка M наближається до точки M0 .

Означення 18.1. Дотичною до кривої l в точці M0 називається граничне положення січної M 0 M (якщо воно існує), коли точка M вздовж кривої l наближається до точки M0 :

	M	0	M1
		T1	M3
			M4
M	−	M +
		M −	M +
	T	T	M2
	1	2	T2

а)	б)	в)
		Рис. 18.2

З означення дотичної випливає, що до кривої в даній точці M0 може існувати тільки одна дотична. Крім того, існування дотичної та її

y	y = x3		положення залежить від поведінки
			кривої у досить малому околі точки
			дотику. В одній точці кривої дотична
1	M0		може існувати, а в другій її точці ні.
			На рис. 18.2 показані криві, які не
0	1	x	мають дотичних в точках M 0 , M1 ,
			M2 , M 3 , M4 .
M1			Відмітимо також, що в
			означенні 18.1 не вимагається, щоб
	Рис. 18.3		дотична до кривої l мала тільки
			одну спільну точку; так, на рисунку 18.3

210

дотична до графіка функції y = x3 з точкою дотику M0 перетинає цей графік ще й в точці M1 .

	y
y0 + y	M

					y
	y0	M0
			x
α		ϕ
		x0		x0 + x
		Рис. 18.4
y = f (x 0 + x) − f (x0 ),				M(x0 +

(рис. 18.4). Її рівняння

	Для того, щоб знайти
	дотичну	до			графіка			функції
	y = f (x)	в		точці M0 , досить
	знайти її кутовий коефіцієнт.
	Нехай				функція			f (x)
	визначена		на		множині X					і
x	неперервна			в	точці			x0 X ,
	x X	y	0	= f (x ), M			0	(x , y		) .
	0				0			0	0
	Значення				аргументу
					x0	+		x X ,
x; y0	+ y) . Проведемо січну M 0 M

y − y0

=

x − x0

;

y − y0

=

x − x0

;

y − y =

y (x − x );

y0 + y − y0

x0 + x − x0

y

x

0

x

0

y =

y (x − x ) + y ,

y = k( x)(x − x ) + y

, k( x) =

y = tgϕ кутовий

x

0

0

0

0

x

коефіцієнт січної.

Оскільки функція f (x)

неперервна в точці x = x0

, то lim y = 0 . Отже,

x→0

при

x →0

відстань

M0 M

= x2 +

y2

→ 0 .

Оскільки tgx є неперервною функцією на кожному проміжку області визначення, то кутовий коефіцієнт k дотичної до графіка функції в точці M0 , не паралельної осі Oy, можна обчислити за формулою

k = tgα = limtgϕ = lim		y	, або kдот.	= tgα = f ′(x0 )	(18.1)
ϕ→α	x→0	x			похідної: похідна
Остання формула виражає геометричний зміст
f ′(x0 ) функції	y = f (x)		у точці	x0 дорівнює кутовому коефіцієнту
дотичної до кривої y = f (x) у точці з абсцисою x0 .

211

y

дотичн

	f (x0 +		x)		}df = f ′(x0 )dx
	f (x0 )
					диференціа
	x0		x0 + x
у	dx – приріст аргумента

Рис.18.6

має

}	f (x0 )= f (x0	+ x)− f (x0 )	Рівняння
	приріст функції		похилої
x			дотичної	до
			кривої y = f (x)

точці M 0 (x0 , y0 ) вигляд:

(18.2)

Означення 18.2.

одержується при

		y		M
	y0 +	y
			M0
		y0
				x

α

x0 x0 +

Рис. 18.5

Якщо lim k ( x) = ∞, то пряма x = x0 , яка

x→0

x →0 з рівняння січної, записаного у вигляді

y	= x − x +	y0		,	називається
k ( x)
	0	k(	x)

вертикальною дотичною до графіка

y(рис.18.5).

Як відомо, кутовий коефіцієнт k

	дорівнює тангенсу кута нахилу, який
	утворює дана	пряма з додатним
	x напрямком осіOx , тобто
x	tgα = k = f '(x0 ) ,	y = f '(x0 )(x − x0 ) + y0 ,
	f '(x0 )(x − x0 ) = df , f '(x0 ) x = df (x0 ).,
		(18.3)

Отже, диференціал функції в даній точці дорівнює приросту ординати дотичної у відповідній точці графіка функції (рис.18.6).

Якщо функція f (x) в точці x0 має праву (ліву) похідну, то геометрично це означає, що графік цієї функції в точці (x0 , y0 ) має праву (ліву) дотичну (рис.18.7).

212

y				Якщо функція f (x) неперервна в
		права		околі точки x0 і має нескінченну похідну,
y = f (x)				то для неї можуть бути тільки чотири
				можливості (18.8):
				а) нескінченна права і ліва похідні в
			x	точці x0 = +∞, при цьому нескінченна
ліва				похідна в точці x0 = +∞;
0	x0
Рисy	.18.7

									x
0	x0		x0		x0		x0
	а)		б)		в)		г)
					Рис.18.8
б) нескінченна		права	і ліва похідні в точці				x0 = −∞, при цьому
нескінченна похідна в точці x0					= −∞;
в) нескінченна права похідна в точці x0 = +∞, а ліва x0									= −∞, при цьому
нескінченна похідна в точці x0					= ∞;
г) нескінченна ліва похідна в точці x0 = −∞, а права x0									= +∞, при цьому
нескінченна похідна в точці x0					= ∞.

Задача про миттєву швидкість.

позиція в час t

M1

s = f (t)

s(t)

Рис.18.9

положенні M1 .

і в час t + t	Нехай матеріальна точка
M2	рухається		вздовж	прямої	за
s + s = f (t +	t) законом		s = f (t) .	Поставимо
	задачу:	обчислити		швидкість
	руху точки в момент часу				t ,
	якщо	точка знаходиться			в

213

Нехай

M2 – положення матеріальної точки в момент часу

t + t

(рис. 18.9).

Тоді за час

t точка пройде

шлях s , який називається

приростом

шляху:

s = f (t +

t) − f (t).

Відношення

s(t) =

f (t + t) − f (t)

у механіці називають середньою швидкістю руху

t

t

V := s(t) .

точки на відрізку

M

M

2

:

1

c

t

Отже, середня швидкість в даному випадку не є сталою. Вона

залежить при фіксованому моменті часу

t від приросту часу

t . При

різних значеннях

t середня швидкість Vc

набуває різних значень.

Проте, чим менший проміжок часу

t після моменту часу t, тим

точніше середня швидкість буде характеризувати швидкість точки в момент t.

Тому природно за швидкість точки в момент часу						t прийняти
границю Vc		при	t →0:
V	= limV		= lim	S	′	(18.4)
				t	= S (t),
мит		t→0 сер	t→0

Похідна і диференціал суми, добутку і частки.

Теорема 18.1. Якщо функції u (x)						і v	(x) в точці x мають
похідні, то функція			y(x) = u(x) ±v(x)				також	цій точці має
	′
похідну і похідна y (x) дорівнює:
								(18.5)
Доведення. Надамо		x	деякого приросту				x . Тоді функції u (x) і
v(x) матимуть прирости		u(x) і		v(x), а		y =	u(x) ±	v(x) .
Оскільки існують lim	u(x)		′		v(x)	′
	x	=u (x), lim			x	= v (x) , то
x→0				x→0

214

lim

y

= lim

u(x)

±

v(x)

= lim

u(x)

± lim

v(x)

′

′

x

x

x

x

x

= u (x) +v (x)

x→0

x→0

x→0

x→0

Цю теорему можна узагальнити для будь якої скінченної суми диференційовних функцій:

( f1 (x) + f2 (x) +... + fn (x))′ = f1′(x) + f2′(x) +... + fn′(x) . ■
Приклад 1.	y = x −2x +1,		y ' = (	x − 2x +1)′ =		1	−2x ln a .
					2	x
Теорема 18.2. Якщо функції u (x)				і v(x) в точці x мають похідні,
то в цій	точці функція		y = u(x) v(x) також має					похідну:
				(18.6)
Доведення.	Надамо	аргументу		x деякого		приросту		x і
обчислимо приріст функції		y = u(x) v(x) :

y = u(x + x) v(x + x) −u(x) v(x) = (u(x) + u)(v(x) + v)−

−u(x) v(x) = u(x) v(x) +v(x) u +u(x) v + u v −u(x) v(x).

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

y

= v(x)

u(x)

+u(x)

v(x)

+ u(x) v(x) .

x

x

x

x

lim

y

= lim

v(x)

+ v(x)

u(x)

+ u(x)

v(x)

=

x

u(x)

x

x

x→0

x→0

x

= u(x) v′(x) +v(x) u′(x) +0 v′(x) = u′(x) v(x) +u(x) v′(x).

Наслідок 1. Сталий множник можна винести за знак похідної:

(18.7)

Наслідок 2. Теорема 18.2 має місце для добутку трьох і більшого числа диференційовних функцій, тобто:

(18.8)

215

Теорема 18.3. Якщо функції u (x) і v(x) в точці x мають похідні і

v(x)≠ 0,

то частка цих функцій

u(x)

також в точці x

має

v(x)

похідну, і похідна

y′ дорівнює:

(18.9)

Доведення. Надамо x деякого приросту

x і обчислимо приріст

функції:

y = u(x + x)

− u(x)

= u(x) + u(x)

− u(x) =

v(x + x)

v(x)

v(x) + v(x)

v(x)

=

u(x)v(x) + u(x)v(x) −u(x)v(x) −u(x) v(x)

=

u(x)v(x) −u(x) v(x)

;

v(x)(v(x) + v(x))

v(x)(v(x) + v(x))

y

v(x)

u(x)

−u(x)

v(x)

+ u(x)

v(x)

u′(x)v(x) −v′(x)u(x)

lim

= lim

x

x

x

=

.■

x

v(x)(v(x) + v(x))

x→0

x→0

v2 (x)

Приклади. Знайти похідні функцій:

2.f (x)= tg x .

		′		sin x ′
Розв’язання. f ′(x)= (tgx)			=		=
	sin′x cos x −sin x cos′x		cos x
=		=	cos x cos x + sin xsin x			=	sin2 x + cos2 x	=	1
	cos2 x						cos2 x		cos2 x
				cos2 x

3. f (x)= ctg x.

			′	cos x ′
	Розв’язання. f ′(x)= (ctgx)			=		=
		cos′xsin x −cos xsin′x		sin x
	=		= −sin xsin x −cos xcos x				= −	sin2 x + cos2 x	= −	1	.
		sin2 x						sin2 x		sin2 x
					sin2 x

216

Приклад 4. Знайти похідні гіперболічних функцій:

shx

:= ex −e−x

;

chx := ex + e−x

;

2

2

thx := shx

= ex −e−x

;

cthx :=

chx = ex + e−x .

chx

ex +e−x

shx

ex

−e−x

Розв’язання. (shx)′

ex

− e−x ′

ex + e−x

= chx;

=

=

2

2

′

ex

+ e−x ′

ex

− e−x

(chx)

=

=

= shx;

2

2

′

e

x

−e

−x

′

(e

x

−e

−x

′

x

+e

−x

) −(e

x

−e

−x

)(e

x

+e

−x

′

) (e

)

(thx)

=

=

=

x

+ e

−x

(e

x

+e

−x

)

2

e

=

(ex +e−x )2 −(ex −e−x )2

=

4

=

1

.

(ex + e−x )2

ch2 x

(ex + e−x )2

Аналогічно знаходимо похідну функції cthx.

Отже:	(18.10)

Теореми 18.1–18.3 можна перенести і на випадок диференціалів функцій. При тих же умовах відносно диференційовності функцій u (x) і v(x) в точці x маємо:

1.d (u(x) +v(x))= du(x) + dv(x),

2.d (u(x) v(x))= v(x) du(x) +u(x) dv(x) ,

3.d (Cu(x))= Cdu(x) ,

4.	u(x)		=	v(x)du(x) −u(x)dv(x)			.
	d			v	2	(x)
	v(x)

217

Похідна і диференціал складеної функції.

	Похідна композиції f		ϕ функцій f		і ϕ	Теорема		18.4.		Нехай
						функція		u =ϕ(x)		має
		y′ =	f ′(ϕϕ(x) ϕ′(x))		f	похідну в точці x0 , а функція
		u′ =ϕ′(x)		f ′(u)= f ′(ϕ(x))		y = f (u) має похідну в точці
						u0 =ϕ(x0 ),	тоді		складена
						функція	y = f (ϕ(x))			має
		Рис.18.10				похідну в точці x0 ,			причому
						має місце рівність:
								(18.11)

	Доведення.
		′	ϕ(x) − неперервна в точці x
І.		ϕ (x )
		′ 0		0	ϕ(x0 )
		f (u0 )	f (u) − неперервна в точці u0 =
	y = f (ϕ(x))− неперервна в точці x0 .
ІІ.	y′ = f ' (u0 ) y = f ′(u0 )			u +α( u) u, limα(	u) = 0..
				u→0
Поділимо обидві частини останньої рівності на					x ≠ 0:
	y = f ' (u0 )		u +α( u)	u			(18.12)
	x		x	x
Якщо		x →0 , то	u = ϕ(x0 ) → 0 , отже α( u) → 0, оскільки u =ϕ(x) –

неперервна функція в точці x0 . Тому, перейшовши до границі в рівності

(18.12) при

x →0 , одержимо:

lim

y

= lim

'

(u0 )

u

+α(

u)

u

'

(u0 ) lim

y

+ limα( u)

u

=

x

f

x

= f

x

x

x→0

x→0

x

x→0

x→0

= f ′(u0 ) ϕ′(x0 ) + 0 ϕ′(x0 ) = f ′(u0 ) ϕ′(x0 )

Отже:

y′(x0 ) = f ′(u0 ) ϕ′(x0 ) .

218

Наслідок (інваріантність форми першого диференціалу відносно перетворення незалежної змінної): dy = f ′(u0 ) du

В цій формулі du =ϕ′(x0 )dx є диференціалом функції, а dx диференціалом незалежної змінної.

Таким чином, диференціал функції має один і той же вигляд: добуток похідної по деякій змінній на диференціал цієї змінної незалежно від того, чи є ця змінна в свою чергу функцією чи незалежною змінною.

Доведення. dy = y′(x0 )dx = f ′(u0 )ϕ′(x0 )dx = f ′(u0 )du . ■

Теорема 18.4 за індукцією поширюється на суперпозицію довільного скінченного числа диференційовних функцій. Наприклад, для складеної функції z (y(x(t))) у випадку диференційовності функцій z( y), y(x), x(t) у відповідних точках y0 , x0 ,t0 має місце формула:

dz

=

dz

dy

dx

,

або ще записують

z' = z'

y'

x' .

dt

dy dx dt

t

y

x

t

Приклади.

5. y = esin x . y′ = (esin x )′ (sin x)′ = esin x cos x.

219