mat.analiz_1

ε > 0 δ > 0, x : 0 <

x − x0

< δ

f (x)− A

< ε .

За умовою

ϕ(x)≠ u0

при

x ≠ x0 ,

то

на інтервалі

(x0

−δ; x0 +δ ),

за

винятком, можливо, точки x0 , визначено функцію f (ϕ(x)).

x→x

(

x

)

0

df (Гейне)

(

n )

O*

( 0 )

n→∞

n

0

n→∞

(

n )

0

(

x

)

0

limϕ

=u

x

x

: limx

= x

limϕ

x

=u , ϕ

≠u .

0

lim f (u)= A

df (Гейне)

(un ) Oε* (u0 ): lim un

= u0

lim f

(un )= A .

u→u0

n→∞

n→∞

Оскільки

послідовність

(ϕ(xn )) Oε* (u0 ),

то

limϕ(xn )= u0

(

)

(

ϕ(x)

)

n→∞

lim f

ϕ

(u

)

= A. А це й означає, що існує lim f

= lim f (u)= A.

n→∞

n

x→x

u→u

0

0

Наслідок.

Якщо

)

функція

u =ϕ (x)

неперервна

в

точці

x0

limϕ(x)

=ϕ(x

)

,

функція

y = f (u )

неперервна

в

точці

(x→x0

(

0 )

(u→u0

0

(

)

(

0 ))

(

(

))

u

0

u

= f

,

то складена функція y = f

x

=ϕ

x

lim f

u

ϕ

неперервна в точці x0 .

Доведення. З теореми 12.8 випливає, що існує границя складеної

функції y = f

(ϕ(x))

, причому

(

0

)

x→x

(

ϕ(x)

)

u→u

(u)

0

)=

)

lim f

= lim f

=

f (u

f

ϕ(x

.

0

0

Таблиця “чудових границь”.

Як бачимо, арифметичні операції над границями функції доводяться з використанням границь числових послідовностей. Тому на цей випадок автоматично переносяться і так звані „невизначені

вирази”, які характеризуються символами 00 , ∞∞, 0∞, ∞ −∞. Тут так

само, як і для числових послідовностей, для розкриття невизначеностей вже мало знати тільки границі функцій f (x) і ϕ(x), а потрібно враховувати і сам закон їх зміни.

150

	Приклади.
	1. Довести, що					(друга „чудова” границя).				(12.5)
	Доведення.
								1	x
	І. Покажемо спочатку, що lim 1						+		= e .
								x
						x→+∞
		1	x							∞
	Функція 1+			= e при x →+∞представляє невизначеність типу 1 .
		x

Розглянемо дві числові послідовності g1 (n)

і g2 (n):

g

(n)=

1+

1

n ,

g

(n)

=

1+

1

n+1 :

2

1

n

n +1

1

n+1

1

n

1+

e

n +1

∞

lim g1 (n)= lim 1+

=

(1

)= lim

=

= e ,

1

1

n→+∞

n→+∞

n +1

n→∞

1+

n +1

1

n+1

∞

1

n

1

lim g2

(n)= lim 1+

=(1

)= lim 1

+

1+

= e

1 = e .

n

n

n

n→∞

(

)

n→∞

[

n→∞

Функція f

x

=[x], визначена на

)

, приймає натуральні

1, +∞

значення. Очевидно, що

[ x]

[ x]+1

lim g1 (f (x))

1

lim g2 (f

(x))= lim

1

= lim 1+

= e,

1+

= e

x→+∞

x→+∞

[x] +1

x→+∞

x→+∞

[x]

.(12.6)

[

+ ∞

)

:

0

<[x] ≤ x <[x] +1:

Враховуючи, що x

1;

1

<

1

≤

1

,

+1,

[x] +1

x

[x]

1+

1

<1+

1

≤

1

+

1

,

[x] +1

x

[x]

1

[ x]

1 x

1

[ x]+1

1

+

<

1

+

≤

1+

,

[x] +

x

1

[x]

і теорему 2.7, отримаємо, що:

151

1

[ x]

1 x

1

[ x]+1

e = lim 1

+

= lim 1

+

= lim 1

+

= e .

[x] +1

x

x→∞

x→+∞

x→+∞

[x]

ІІ. Нехай x → −∞ , тоді t = −x →+∞. Використовуючи теорему 12.8 про границю композиції функцій, отримаємо:

1

x

1 −t

t

t

1

t−1

1

= e .

lim 1

+

= lim 1

+

= lim

= lim 1

+

1

+

x

t

t −1

t −1

x→−∞

t→+∞

t→+∞ t −1

t→+∞

1

x

Тому lim 1

+

= e .

x

x→∞

2. (друга „чудова границя”). Довести, що .

(12.7)

Розв’язання. Використаємо теорему 12.8 про границю складеної функції.

1

1

1

t

Якщо x →0, то t =

→ ∞, тому lim(1+ x)x

= lim 1

+

= e .

x

t

x→0

t→∞

3. Довести, що

.

(12.8)

Розв’язання.

ln (1+ x) =

1 ln (1+ x)= ln (1+ x)x .

1

x

x

1

Розглянемо складену функцію f (u )= ln u , де

u = (1 + x)x . Оскільки

1

lim ln u = ln e

=1 (неперервність логарифмічної функції

lim (1 + x)x = e і

x→0

u→e

буде доведено в лекції 16), тому, згідно з теоремою 12.8, маємо:

lim ln (1+ x) = lim ln (1+ x)x

= lim ln u =1.

1

x→0

x

x→0

u→e

4. Довести, що

.

(12.9)

Розв’язання.Позначимо u = ax −1, звідки x = loga (u +1)= ln (u +1). ln a

Якщо x →0, то u = ax −1 → 0 , тому, згідно з теоремою 12.8, маємо:

152

	lim	ax −1		= lim	u ln a	=
		x			ln (u +1)
	x→0			u→0

5. Довести, що

	ln a lim	u	=
		ln (u +1)
	u→0
		.

ln a . Зокрема, lim ex −1 =1.

x→0 x

(12.10)

Розв’язання.

Позначимо u = (1 + x)α −1, (1 + x)α = u +1 α ln (1 + x)= ln (1 + u ),

(

)

u

u

(

)

і

1

+ x

α

−1

=

=

α ln 1

+ x

.

Якщо

x →0,

то

x

x

ln (1+u)

x

u = (1 + x)α −1 → 0 , тому згідно з теоремами 12.3 і 12.8 маємо:

lim

(1+ x)α −1 = lim

u

lim

α ln (1+ x)

=1 α =α .

x→0

x

u→0 ln (1+u)

x→0

x

Таблиця „чудових границь”:

1. lim

sin x

=1;

2. lim

tgx

=1;

x

x→0

x→0

x

3. lim

arcsin x

=1;

4. lim arctgx = π

;

x→0

x

x→+∞

2

5. lim arctgx = −

π ;

6. lim

(1+ x)α −1

=α ;

x→−∞

1

2

x→0

x

1

7. lim

1+

= e ;

8. lim

(1 + x)x

= e ;

x

x→∞

x→0

9. lim

ax −1

= ln a ;

10. lim

ex

−1

=1;

x

x→0

x

x→0

11. lim

ln (1+ x)

=1;

12. lim

loga (1+ x)

=

1

.

x→0

x

x→0

x

ln a

Нескінченно малі і нескінченно великі функції, порівняння

нескінченно малих функцій. Еквівалентні функції.

Нехай α (x) і β (x)

– нескінченно малі функції в точці x0 , тобто

limα (x)= 0,

lim β (x)= 0

і β (x)≠ 0

у

деякому проколеному

околі

x→x0

x→x0

точки x0 .

153

Означення

12.1. Якщо

lim

α (x)

= 0 , то

α (x)

називається

β (x)

x→x0

нескінченно малою вищого порядку малості, ніж β (x) в точці x0 .

При цьому β (x) називається нескінченно малою нижчого порядку

малості, ніж α (x) у точці x0 .

Приклади.

6.

α (x)= (x −1)2 ;

β (x)= x −1.

При

x →1 α (x)→ 0

і β (x)→ 0 .

Знайдемо границю:

lim

α (x)

= lim

(x −1)2

= lim(x −1)= 0 .

β (x)

x −1

x→1

x→1

x→1

Отже, α (x)= (x −1)2

– нескінченно мала функція вищого порядку

малості, ніж β (x)= (x −1)

у точці x0 =1.

7.

α (x)=

1

;

β (x)=

1

. lim α (x)= 0; lim β

(x)= 0 – нескінченно

x2

+1

x

+1

x→+∞

x→+∞

малі функції при x →+∞. Знайдемо границю:

lim

α (x)

= lim

x +1

= 0 .

x→∞

β (x)

x→∞

x2 +1

Отже, α (x)=

1

є нескінченно малою функцією вищого порядку

x2 +1

1

малості, ніж β (x)=

при x →+∞.

x +1

α (x)

Означення 12.2. Якщо lim

= c, де c ≠ 0

, то α (x)

і β (x)

в

β (x)

x→x0

точці x0 називаються нескінченно малими однакового порядку

малості.

Якщо

при

цьому

c =1, то α (x)

і β (x) в

точці

x0

називається еквівалентними, і записуються α (x)~ β (x).

Приклади:

154

	8. α (x) = x2 − 2x ; β (x) = x − 2			– нескінченно малі функції при x →2.
	Знайдемо границю	α (x)			x(x − 2)
	lim		= lim			= 2 ≠ 0.
	x→2	β (x)		x→2	x − 2
	Отже, α (x) і β (x) – нескінченно малі функції одного порядку малості в
	точці x = 2 .

9. α (x)= sin x ; β (x)= x – нескінченно малі функції при x →0. Оскільки
lim	sin x	=1, то sin x~ x , x →0.
x→0	x
10. Аналогічно: α (x)= n 1 + x −1; β (x)=							1	x – нескінченно малі функції
							n
при x →0. Тому			n 1 + x −1~	1	x, x →0	.
				n		нескінченно малі функції α (x),
	Теорема 12.9.		Для того, щоб
	β (x) в точці x0 були еквівалентними, необхідно і достатньо,
	щоб різниця цих функцій була нескінченно малою функцією вищого

	порядку малості, ніж α (x) і β (x)				в точці x0 .
	Доведення. Необхідність.						α(x)
	Нехай α (x)~ β (x) в точці x0 , тобто lim									=1. Тоді
							β (x)
						x→x0
		α (x)− β (x)				β (x)
	lim			= lim 1	−			=1		−1 = 0 ,
		α (x)
	x→x0			x→x0		α (x)

отже, α (x)− β (x) є нескінченно мала функція вищого порядку малості,

	ніж α (x). Аналогічно доводять, що lim						α(x)− β (x)		= 0.
							β (x)
						x→x0
		Достатність.		Нехай		γ (x)=α (x)− β (x)		є	нескінченно малою
	функцією вищого порядку малості, ніж α (x)							і β (x) в точці x0 , тобто
	lim	γ (x)	= 0 і lim	γ (x)	= 0	. Розглянемо границю:
		α(x)
	x→x0		x→x0	β (x)

155

lim

α(x)−β(x)

=lim

β(x)

−1 =0

li m

α(x)

=1 α

(

x

)

~ β

(

x

)

, x → x

x→x0

β(x)

x→x0

α(x)

x→x0

β(x)

0

.

Теорема 1 2.10. Якщо в точці x0

~

,

~

, то

lim

α(x)

= lim

α1 (x)

.

β (x)

β1 (x)

x→x0

x→x0

Доведення.

α (x)

=

α

(x)

α1 (x)

β1 (x)

. За умовою

теореми: lim

α

(x)

=1;

β (x)

α1

(x)

β1 (x)

β (x)

α1 (x)

x→x0

lim

β1

(x)

=1. Отже

β

(x)

x→x0

(x)

α (x )

α1 (x )

β1 (x)

α1 (x)

lim

α

= lim

= lim

.

β

(x)

α1 (x)

β1 (x)

β

(x)

β1 (x)

x→x0

x→x0

x→x0

Пр иклади.

11. Знайти lim

sin x

0

.

x→0 3 x +1 − 1 0

Ро зв’язання.

При

x →0

маємо

sin x~ x ,

а

3

−1~

1

x ,

отже

x +1

3

si n x

x

lim

=lim

= 3.

1

x→0 3 x +1 −1

x→0

3 x

Теорема 12.11. Якщо lim f (x)= A, то f (x)= A +α (x), де α (x) –

x→x0

нескінченно мала функція при x → x0 .

Доведення.

0

(

)

x→x

(

)

A = lim f

x

ε > 0 δ > 0,

x X : 0 <

x − x

<δ

f

x

− A

< ε

.

0

f (x)− A =α (x), отже

α (x)

x Oδ* (x0 )∩ X , а це й

Позначимо

< ε

означає, що α (x) – нескінченно мала

функція при x → x0 .

Правильне і обернене твердження.

156

Висновок. Отже, якщо функція f (x) має границю A в точці x0 , то цю функцію можна подати у вигляді f (x) = A +α (x), α (x) – нескінченно мала функція при x → x0 .

Використовуючи приклади 1 – 5, можна записати таблицю

еквівалентних функцій в точці x0		= 0 :
sin x~ x	arcsin x ~ x		a x −1~ x ln a			ln (1 + x)~ x
tgx ~ x	arctgx ~ x		e		1~ x	(	)	α −1~ αx
				x −		1	+ x

Для позначення того, що α (x) є нескінченно мала функція більш

високого порядку малості, ніж β (x) в точці x0 ( β (x) ≠ 0 ), використовують запис: α = o(β ) (читають: „ α дорівнює o маленьке від

β ”).

	α = o(β ), x → x0	lim	o(β )	= 0 .
			β
		x→x0

З позначення „o” і теорем 12.9 – 12.10 випливають властивості символу „o” :

1.o(β )+ o(β )= o(β ), o(β )− o(β )= o(β );

2.Якщо α = o(β ), то o(β )+ o(α )= o(β );

3. Якщо α і β – довільні нескінченно малі функції в точці x0 , то

α β = o(α ) і α β = o(β ).

Аналогічно порівнюються нескінченно великі функції. Цю частину теорії розгляньте самостійно. Для цього можете використати підручники [6, с.120], [13], [8, с.174 177].

Для нескінченно великих функцій доведіть такі твердження.

Теорема 12.12. Нехай функції f (x) і g (x) визначені в деякому проколеному околі O* (x0 ) точки x0 . Тоді:

І. Якщо lim f (x)= +∞ і	lim g (x)= +∞, то
x→x0	x→x0

157

x→x

(

f

(x)+ g (x)

)

= +∞;

а)

lim

0

б)

lim

f (x) g (x)= +∞ .

x→x0

ІІ. Якщо

lim

f (x) = +∞ і

lim g (x)= −∞, то

x→x0

x→x0

а)

lim

(

f

(x)− g (x)

)

= +∞;

x→x

0

б)

lim

f (x) g (x)= −∞ .

x→x0

ІІІ. Якщо

lim

f (x) = +∞ і lim g (x)= A , то

x→x0

x→x0

а)

lim

f (x) g (x)= +∞ , якщо A > 0;

x→x0

б)

lim

f (x) g (x)= −∞ , якщо A < 0 .

x→x0

ІV. Якщо

lim

f (x) = −∞, то

x→x0

а)

lim

f 2n (x)= +∞,

n N ;

x→x0

б)

lim

f 2n+1 (x)= −∞, n N .

x→x0

V. Якщо

lim

f (x) = +∞, то lim

n f (x) = +∞, n ≥ 2, n N .

x→x0

x→x0

VІ. Якщо

lim

f (x) = +∞, то lim

1

= 0 .

f (x)

x→x0

x→x0

VІІ. Якщо

lim

f (x)= 0 і f (x)≠ 0 x O* (x

), то lim

1

= ∞.

x→x0

0

x→x0

f (x)

158

План:

1.Означення неперервної функції в точці.

2.Неперервність суми, добутку, частки.

3.Неперервність складеної функції.

4.Перехід до границі під знаком неперервної функції.

5.Одностороння неперервність. Критерій неперервності.

Мета лекції: знати різні означення неперервності функції в точці, вміти доводити їх еквівалентність, а також знати основні властивості

неперервних функцій в точці.

Означення неперервної функції в точці.

При розгляді питання про границю функції при x → x0 , ми неодноразово підкреслювали, що змінна x не приймає значення x0 , це значення могло навіть не належати області визначення функції, а якщо і належало, то значення функції f (x0 ) при утворенні границі взагалі не враховувалось.

Однак, дуже важливе місце займає той випадок, коли саме

x→x

(

x

)

=

f

(

0 )

.

lim f

x

0

Означення 13.1. Функція

y = f (x),

визначена в деякому околі

O (x0 ) точки x0 називається неперервною в цій точці, якщо

x→x

(

x

)

= f

( 0 )

.

(13.1)

lim f

x

0

Отже,

виходячи з означення,

функція y = f (x) в точці x0

буде

неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

1. функція

y = f (x) визначена в точці x0 , тобто існує число f (x0 );

159