mat.analiz_1

Теорема 7.3. Якщо границя xn

дорівнює a і a < p

(a > q), то і

всі члени послідовності (xn ), починаючи з деякого номера і для

всіх наступних номерів, будуть менші за p (більші за q).

Доведення.

Нехай a < p (Випадок

(a > q) доводиться аналогічно).

х

xn +1

р

а

x2

x1

0

Згідно з означенням границі маємо:

df

lim x = a ε > 0,

n ,

n > n

:

x − a

< ε a −ε < x

< a +ε

x→∞ n

0

0

n

n

Виберемо ε = p −a,

або p = a +ε .

Тоді

права частина останньої

нерівності має вигляд xn < a +ε = p,

n > n0 .

Наслідок 1.

Члени

збіжної

послідовності

(xn ),

xn ≠ 0 ,

починаючи з деякого номера мають знак цієї границі.

Доведення. Нехай

a > 0 , тоді візьмемо p = 0 і за теоремою 7.3

xn > p = 0 n > n0 .

Наслідок 2. Якщо границя послідовності (xn ) не дорівнює нулю, то члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера, більші за модулем від деякого додатного числа t .

Доведення. Нехай lim xn = a , припустимо,					що a > 0 . Тоді
n→∞
поклавши t = p , де 0 < p < a за теоремою 7.3 xn > t або							xn		> t .
Якщо a < 0, то поклавши t =		q		, де a < q < 0 xn	< q (n > n0 ). Звідси
випливає

−xn > −q = q , xn > t (n > n0 ).

Теорема 7.4 (граничний перехід в нерівностях). Якщо дві числові послідовності (xn ) і (yn ) при кожному значенні задовольняють

нерівності xn	> yn	і lim xn = a ,	lim yn = b , то a ≥ b.
		n→∞	n→∞

100

Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо, що при заданих умовах a <b , тоді за властивістю неперервності

множини дійсних чисел

r R : a < r < b

lim x

= a

Т.7.3

n1, n > n1

:

xn < r ,

(7.8),

n→∞

n

a < r

lim y

= b Т.7.3

n2 ,

n > n2 :

yn

> r

,

(7.9).

n→∞

n

b > r

Покладемо

n0

= max{n1, n2}, ,

тоді

n > n0

нерівності (7.8) і (7.9)

виконуються одночасно. За властивістю транзитивності для чисел

маємо: xn < r < yn xn < yn .

Остання

нерівність

суперечить

умові

теореми, а суперечність виникла там, де ми припустили, що

a <b ,

значить a ≥ b.

Теорема 7.5. Нехай задано три числові послідовності

(xn ),

(yn ),

(zn )

такі,

що

n N :

xn ≤ yn ≤ zn .

Якщо

lim x

= lim z

n

= a , то lim y

n

= a .

n→∞ n

n→∞

n→∞

Доведення.

df

n1

n > n1 :

xn −a

lim xn = a

ε > 0,

,

<ε

n→∞

або a −ε < xn

< a +ε ,

(7.10)

df

n ,

n > n :

z

−a

lim z

= a ε > 0,

n

<ε

n→∞

n

2

2

або a −ε < zn

< a +ε .

(7.11)

Покладемо n0

= max{n1 , n2 }, тоді n > n0 нерівності (7.10) і (7.11)

виконуються одночасно. За умовою теореми і нерівностями (7.10) та (7.11) маємо: a −ε < xn < yn < zn < a +ε , за властивістю транзитивності остаточно отримуємо:

a −ε < yn < a +ε , або yn − a < ε , тобто lim yn = a .

n→∞

Поняття границі є одним з основних понять математики. Сучасна теорія границь стала результатом узагальнення та

101

вдосконалення дуже стародавніх та інтуїтивних уявлень про це поняття. Ідея границі сягає до Евкліда (ІІІ ст. до н. е.), Арістотеля (384 322 рр. до н. е.) та інших математиків давнини. Хоча ці математики ніколи не давали означення границі, проте вони інтуїтивно користувалися основною ідеєю граничного переходу при знаходженні площ, обмежених кривими, об’ємів та площ поверхонь тіл, роботи, тиску рідини і т. ін. Згодом спроба ввести поняття границі була зроблена англійським математиком і механіком І. Ньютоном (1643 1727). Саме він ввів спеціальний термін limes (границя). Поняттям границі користувався у своїх працях і член Петербурзької академії наук, видатний математик і механік Л. Ейлер (1707 1783).

Проте лише на початку XIX ст. поняття границі дістало такого наукового означення, яке можна описати за допомогою математичних нерівностей. Це надало торії границь необхідної строгості, дало змогу широко використовувати її у практичних застосуваннях та зробило фундаментом побудови сучасної математики. Особлива заслуга в цьому належить французькому математику О. Коші (1789 1857).

102

План:

1.Нескінченно малі числові послідовності і нескінченно великі числові послідовності, їх властивості.

2.Границя суми, добутку, частки числових послідовностей.

3. Невизначеності типу 00 , ∞∞, 0 ∞, ∞ −∞.

4. „Чудові границі”.

Мета лекції: оволодіти уміннями знаходити границі послідовностей.

Нескінченно малі числові послідовності і нескінченно великі числові послідовності, їх властивості.

Серед функцій натурального аргументу особливе місце займають так звані нескінченно малі і нескінченно великі числові

послідовності (н.м.ч.п. і н.в.ч.п.).					)
Означення 8.1. Числова послідовність (xn							називається
нескінченно малою, якщо lim xn = 0 або
	n→∞
	df
	(xn ) – н. м. ч. п. ε > 0	n0 , n > n0 :		xn			< ε	.	(8.1)

Зазвичай нескінченно малі числові послідовності позначають малими буквами грецького алфавіту: (αn ), (βn ), (γn ),... З означення 8.1 випливає, що члени н. м. ч. п., починаючи з деякого номера стають меншими від як завгодно малого додатного числа ε .

103

Розглянемо властивості нескінченно малих числових

послідовностей.

Теорема 8.1. Якщо lim xn

= a ,

то числова послідовність (αn ),

n→∞

де (αn )= (xn

− a), є нескінченно мала числова послідовність.

Доведення.

lim x

n

df= a ε > 0

n ,

n > n :

x

n

− a

< ε ,

n→∞

0

0

df

αn

< ε limαn = 0 .

n→∞

Отже, αn – нескінченно мала послідовність.

Теорема 8.2. Якщо числова послідовність (αn ), де αn = xn − a , є

нескінченно мала числова послідовність, то lim xn = a .
							n→∞
Доведення.
				df
(αn )= (xn − a) – н. м. ч. п. ε > 0						n0 ,	n > n0 :		αn		< ε,
				df	= a .
	xn	− a		< ε lim xn
				n→∞

Висновок. Для того, щоб число а було границею числової послідовності (xn ), необхідною і достатньою, щоб виконувалась рівність xn = a +αn , де (αn ) – нескінченно мала послідовність.

Приклад 1. Знайти lim n2 + 2n +1+sin n .

n2 + n +1

Розв’язання.

Виділимо цілу частину:

n2 + 2n +1+sin n =1+

n +sin n

, і оцінимо

n2 + n +1

дробову частину виразу:

n2 + n +1

0 <

n +sin n

≤

n +1

≤

2n

< 2n

= 2 ,

lim 2

= 0.

n2 + n +1 n2

+ n +1 n2

+ n +1 n2

n

n→∞ n

104

Отже, згідно з теоремою 7.5 lim n2+sin n = 0, тобто послідовність

n→∞ n + n +1

	n	+sin n		є нескінченно мала і lim	n2	+ 2n +1+sin n		=1.
						n2	+ n +1
n2		+ n +1		n→∞

Теорема 8.3. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих числових послідовностей є нескінченно мала числова послідовність.

Доведення.

df

ε

< ε ,

(α

n

) – н. м. ч. п. ε >

0

n ,

n > n :

α

n

(8.2)

1

1

2

2

df

ε

< ε ,

(β

n

) – н. м. ч. п. ε

>

0

n ,

n > n :

β

n

(8.3)

2

2

= max{n1 , n2 },

2

2

Виберемо n0

тоді

n > n0

нерівності (8.2)

і (8.3)

виконуються одночасно. Оцінимо:

n > n0 lim(αn + βn )= 0

αn + βn ≤ αn

+ βn < ε + ε =ε

df

2

2

n→∞

(αn + βn ) – н. м. ч. п.

Використовуючи метод математичної індукції, можна довести справедливість цієї теореми і для довільного скінченного числа нескінченно малих послідовностей.

Теорема 8.4. Добуток обмеженої числової послідовності і нескінченно малої числової послідовності є нескінченно мала числова послідовність.

Доведення.

df

(xn ) – обмежена M > 0,

n

N :

xn

< M ,

(α ) – н. м. ч. п. ε > 0 ε

n ,

n > n : α < ε ,

df

n

0

0

n

M

M

x

x

ε

M =ε, n > n

df

x = 0

Оцінимо:

α

=

α

<

limα

n

n

n

n

M

0

n→∞

n

n

(αn xn ) – н.м.ч.п.

105

Серед розбіжних послідовностей виділяють так звані нескінченно великі числові послідовності.

Означення 8.2.

df

(xn ) – н.в.ч.п. M >0 n0 , n > n0 :

xn

> M

(8.4)

Записують: lim xn

= ∞.

n→∞

Приклади:

1. {(−1)n n};

2). {n2 };

і 3). (an ),

a >1 – нескінченно великі числові

послідовності.

Розглянемо приклад 3).

df

> M (a >1)

(an ), a >1 – н. в. ч. п. M

> 0 n0 ,

n > n0 : an

nln a > ln M , або

n >

ln M

≥

ln M

= n .

ln a

0

ln a

Отже,

M > 0 ми вказали номер

n =

ln M

такий,

що як

0

тільки n > n

ln a

, так і зразу виконується нерівність

an

> M , що й означає,

0

що послідовність (αn ),

a >1 є нескінченно великою.

Між нескінченно малою числовою послідовністю і нескінченно великою числовою послідовністю існує тісний зв’язок, який

виражається теоремами 8.5 і 8.6.

Теорема 8.5.

Якщо

(xn )

–

нескінченно

велика

числова

послідовність,

то

послідовність

(αn )=

1

–

нескінченно

мала.

xn

df

Доведення. (xn ) – н. в. ч. п. M > 0 n0 , n

> n0 :

xn

> M ,

1

<

1

=ε ;

df

1

або

αn

< ε limαn

= lim

= 0 .

x

M

n→∞

n→∞

x

n

n

Теорема 8.6. Якщо числова послідовність (αn )(αn

≠ 0) є

106

n

1

нескінченно

м ала

числова

послідовність,

то

(x )=

–

αn

нескінченн о велика.

Доведення.

(αn )

df

ε > 0 n0 , n > n0 :

αn

< ε,

– н. м.ч.п.

1

>

1

= M ,

α

n

ε

1

> M ,

α

n

x

> M lim x = lim

1

= ∞.

αn

n

n→∞ n

Означення 8.3. Якщо числова послідовність (xn ) є нескінченно

великою і зберігає певний знак для всіх

n > n0

(+ або

–),

то

каж уть у відповідності зі знаком, що н. в. ч. п. (yn ) має границю

+∞ або

∞. Записують lim xn = +∞ або lim xn = −∞.

n→∞

n→∞

Границя суми, добутку, частки числових послідовностей.

Теорема 8.7. Якщо x

= c,

n =1, 2,..., то lim x

n

= c .

n

n→∞

Доведення. Розглянемо

xn −c = c −c = 0 , а це н. м. ч. п.

Отже, за теоремо ю 8.2 маємо: li m

Т.8.2

= c

.

(x −c)= 0

lim x

n→∞

n

n→∞

n

Теорема 8.8. Нехай числові послідовності (xn )

і (yn )

–

збіжні,

тобто

lim xn

= a і

lim

yn = b .

Тоді числова

послідовність

(x n + yn )

n→∞

n→∞

збіжна і

(8.5)

(Границя суми дорівнює сумі границь, якщо останні існують.)

Доведення.

107

Т.8.1.

− a − н. м. ч. п.

lim xn

= a αn = xn

x

= a + α

n

,

n→∞

= b β

= y

n

,

lim y

−b − н. м. ч. п.

yn

= b + βn

Т.1.

n→∞

n

n

n

xn + yn = (a + b)+ (αn

+ βn ), n =1, 2,...

= (x

+ y

)−

(a +b)

т.8.2

+ y

)= a +b.

α

n

+ β

n

lim(x

n

n

n

n→∞

n

Наслідок:

Границя

скінченної

алгебраїчної

суми

збіжних

послідовностей дорівнює алгебраїчній су мі границь доданків.

Доведення. За методом математичної індукції.

Теорема 8.9. Нехай числові послідовнос ті

(xn )

і (yn )

– збіжні,

тобто lim

xn

= a

і lim yn

= b . Тоді їх добуток (

xn yn )

є збіжна

n→ ∞

n→∞

числова послідовність і

.

(8.6)

(Границя

добутку

дорівнює добутку границь,

якщо

останні

існ ують.)

Доведення.

lim x

Т. 8.1

α

= x

− a – н. м. ч. п.

x

= a +α

.

n

= a

n

n

n→∞

n

n

Т. 8.1

= yn

−b – н. м. ч. п.

yn

= b + βn .

lim y n = b βn

n→∞

Розглянемо різницю

xn yn − ab = (a +αn )(b + βn )− ab =

ab + αnb + βn a +αn βn − ab = αnb + βn a +αn βn = γn ,

αnb, β n a , αn βn – н. м. ч. п. як добуток н. м. ч. п. на обмежену, отже

lim xn yn = ab .

n→∞

Наслідок 1 . Сталий множ ник можна винести за знак границі.

(8.7)

Доведення.

108

(xn )= (c); lim yn

= b. Тоді lim xn yn = lim xn

lim yn = c lim yn .

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Наслідок 2. Якщо lim xn = a і k – натуральне число, то

n→∞

.

(8.8)

Теорема 8.10. Нехай числові послідовності (xn )

і (yn ) збіжні,

тобто lim xn = a і lim yn = b,

b ≠ 0 . Тоді числова послідовність

n→∞

n→∞

xn

a

має скінченну границю, яка дорівнює

:

yn

b

.

(8.9)

(Границя частки дорівнює частці

границь, якщо

останні

існують і границя знаменника не дорівнює нулю.)

Доведення. Розглянемо різницю:

x

n

a

α

+ a

−

a

=

ab +α

n

b −ab − β

a

1

(αnb −a

βn );

−

=

n

n

=

βn + b

b

b(βn +b)

byn

yn

b

т. 7.3

За умовою теореми lim y

n

= b,

b ≠ 0 ,

n , n > n :

y

n

> r > 0 .

Оцінимо:

n→∞

1

1

1

1

1

n > n0

1

=

<

– обмежена послідовність.

b yn

b

yn

b

r

byn

αnb,

βn a – н. м. ч. п. як добуток н. м. ч. п. на обмежену числову

послідовність, тоді αnb − aβn – н. м. ч. п. як різниця нескінченно малих

послідовностей, by1n (αnb − aβn )= γn – н. м. ч. п. як добуток нескінченно малої на обмежену числову послідовність.

Приклади. Знайти границі числових послідовностей:

109