mat.analiz_1

	y = 0,			y = 0,	x = 0,
Ox :		= 0,		x = −1,	Oy :
(x +1)(x − 2)2					y = 4.
				x = 2;

5). Дослідимо функцію на монотонність і точки екстремуму.

y ' = (x −1) '(x − 2)2 + (x +1)((x − 2)2 )′ = (x − 2)2 + 2(x +1)(x − 2) = 3x(x − 2);

y ' = 0	3x(x − 2) = 0		x1 = 0,				ymax = y(0) = 4;	ymin	= y(2) = 0.
			x	2	=	2.
								y
+	–	+				знак y′		4
						x
	0	2					y
						поведінка
	т. max	т. min
		Рис 28.3
							-1	0	2	x
6). Дослідимо функцію на вгнутість,
опуклість і точки перегину.
	y'' = (3x2 −6x)' = 6x −6 = 6(x −1) ,
y'' = 0 6(x −1) = 0 x =1.								Рис 28.5
		–			+		знак y′
		1					x
							поведінка y

точка перегину

Рис 28.4

y(1) = 2 1 = 2 .

7). Наносимо всі характерні точки на координатну площину і будуємо графік функції.

	Приклад 3. Дослідити функцію y =	(x +1)3	і побудувати її
		(x −1)2

графік.

Розв’язання. 1). D( y) = (−∞;+1) (1;+∞).

300

2). Оскільки в точці розриву

x =1 границя

lim

(x +1)3

= ∞, то пряма

(x −1)2

x→1

x =1

є вертикальною

асимптотою.

Знайдемо

похилі

асимптоти:

y = kx +l .

k+

= lim

y(x)

=1, l+

= lim

(y(x) − x)= 5, k−

= lim

y(x)

=1,

l− = lim

(y(x) − x)= 5.

x

x→+∞

x

→+∞

x→−∞

x

x→−∞

Отже, пряма y = x +5 є похила асимптота на +∞ і −∞.

3). Оскільки

y(−x) =

(−x +1)3

≠ y(x)

і

y(−x) ≠ −y(x) ,

то функція ні

(x

+1)2

парна, ні непарна.

4).

Знайдемо

точки

перетину

з

координатними

осями:

y = 0,

y = 0,

x = 0,

+1)3

Ox : (x

= −1;

Oy :

(x

−1)

2 = 0,

x

y =1.

5).

Дослідимо

функцію на

монотонність

і

точки

екстремуму

y

'

=

3(x +1)2 (x −1)2 − 2(x +1)3 (x −1)

=

(x +1)2

(x −5)

;

'

= 0

x = −1,

(x −1)

4

(x −1)

3

y

= 5.

x

+

+

–

+

знак

y′

-1

1

5

x

поведінка y

т. min

Рис 28.6

ymin

= y(5) =

(5 +1)3

=

216

=13,5.

(5 −1)2

16

6) Дослідимо функцію на вгнутість,

опуклість

і

точки

перегину:

y '' =

24(x +1)

; y '' = 0

x = −1.

(x −1)4

–

+

+

знак y′′

-1

1

x

y

поведінка

точка перегину

Рис 28.7

301

	7). Отже, функція	y =	(x +1)3	визначена на множині
			(x −1)2

D( y) = (−∞;+1) (1;+∞). Графік її перетинає вісь Oy в точці			(0;1) і
вісь Ox в точці	(−1;0). Вертикальна	асимптота x =1,	похила
асимптота y = x +5.	На проміжках x <1,	x > 5 функція зростає, на
проміжку 1 < x < 5 спадає, в точці (5;13,5)		має локальний мінімум. На

проміжку x < −1 функція опукла вгору, на проміжках −1 < x <1, x >1

– вниз, (−1;0) – точка перегину (рис.28.8).

Наносимо всі характерні точки на координатну площину і будуємо графік функції.

y

y= (x +1)3

(x −1)2

13,5

1

-1 0 1

5

x

y = x + 5

Рис. 28.8

302

Приклад 4. Побудувати графік функції y = arccos 1− x2 . 1+ x2

Розв’язання.

1).

D( y) : −1 ≤

1 − x2

(1 + x

2

)> 0,

≤

1

1 + x2

−1 ≤1

−1 − x

2 ≤1 − x2

x R,

−1 − x2 ≤1 + x2 ≤1 + x2

− x2 ≤1 + x2

2x2 ≥

0

1

Отже, D( y) = R .

arccos

1 − x2

2).

Знайдемо похилі

асимптоти

y = kx +l ,

k = lim

1 + x2

= 0,

x

x→±∞

l

=

lim arccos

1− x2

=π

, оскільки,

якщо

x → ±∞

,

то

1− x2

→ −

, то

1+ x2

1+ x2

1

x→±∞

arccos

1− x2

→ arccos(−1) =π . Отже, y =π – похила асимптота на +∞

1

+ x2

і −∞. Вертикальних асимптот немає.

3).

y(−x) = arccos

1−(−x)2

= arccos

1− x2

= y(x) – функція парна, тому

1+ (−x)2

1+ x2

графік симетричний відносно осі ординат.

4).Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат:

	y = 0,						y =			0,	y = 0,
Ox :				2					2
arccos		1	− x		= 0,			1 − x		=1,	x = 0;
			+ x	2					2
	1						1 + x
	x = 0,					x = 0,
Oy :							= 0.
y = arccos1,						y

5). Дослідимо функцію на монотонність і точки екстремуму:

)

−1

(

+ x2

)

(

− x2

)

2x

(

)

(

+ x2

+1

− x2

y ' =

−2x 1

− 1

=

−

1+ x2

−2x 1

=

1− x

2 2

(1+ x2 )2

1 + x2

)

2 − 1 − x2

)

2

(1− x2 )2

1−

2

(

(

1+ x

303

=

4x

=

2x

,

1 + x2 −1 + x2

)

1 + x2 +1 − x2

)

1 + x2

)

| x | (1 + x2 )

(

(

(

y(0) = arccos1 = 0.

Якщо x > 0 , то

y ' =

2

> 0, якщо x < 0, то y ' =

−2

< 0.

1+ x2

1 + x2

+

0

–

знак y′

6). Дослідимо функцію на

поведінка y

вгнутість,

опуклість і

x

т. min

точки перегину.

Рис 28.9

Якщо x > 0 , то

y′′ =

2

′

= −

2

2x = −

4x

< 0;

1+ x

2

(

)

2

(

)

2

2

2

1

+ x

1 + x

якщо

x < 0 , то

y′′ =

−2

′

=

4x

< 0;

1+ x

2

(

)

2

2

1+ x

–

–

знак y′′

0

x

поведінка y

Рис 28.10

7). Побудуємо графік функції

y

π

x

Рис. 28.11

304

CПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення. – К.: Радянська школа, 1968. – 115 с.

2.Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Учеб. пособие для студентов заочн. отделений физ.-мат. фак-тов пединститутов. Ч.1/ Под ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971. – 343 с.

3.Давидов М.О. Курс математичного аналізу. Ч. 1. – К.: Вища школа, 1978. – 366 с.

4.Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. Ч.1 – К.: Либідь, 1993. – 320 с.

5.Зорич В.А. Математический анализ. Ч.1. – М.: Наука, 1981.–543 с.

6.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т.1. –

М.: Изд-во МГУ, 1985. – 662 с.

7.Карташев А.П., Рожденственский Б.Л. Математический анализ. – М.:Наука, 1984. – 448 с.

8.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Высшая школа, 1988. – 712 с.

9.Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по математическому анализу. Ч.1. – К.: Высшая школа, 1991. – 696 с.

10.Ляшко И.И., Емельянов В.Ф., Боярчук А.К. Основы классического и современного математического анализа. – К.:Вища школа, 1988. – 591 с.

11.Про математику і математиків / Упоряд.: А.С.Зоря, С.М.Кіро. –

К.:Рад.школа, 1981. – 254 с.

12.Томусяк А.А., Трохименко В.С., Шунда Н.М. Математичний аналіз. Вступ до аналізу. – Вінниця: ВДПУ, 2001. – 375 с.

13.Шунда Н.М., Томусяк А.А. Практикум з математичного аналізу: Інтегральне числення. Ряди: Навч. посібник. – К.: Вища школа, 1995. – 541 с.

14.Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. – К.:Наукова думка, 1972. – 743 с.

15.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Т.2. – М.: Наука, 1970. – 800 с.

16.Шкіль М.І. Математичний аналіз, ч.1.–К.: „Вища школа”, 1978. – 384 с.

17.Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підруч.для 10-11 кл. ЗНЗ. – К.: Зодіак-ЕКО, 1998. – 608 с.

18.Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: навчальний посібник: У 2-х

ч.—К.: КНЕУ, 2002.—Ч.1—546 с.

19.Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: навчальний посібник: У 2-х

ч.—К.: КНЕУ, 2002.—Ч.2—451 с.

20.М.С.Красс. Математика для экономических специальностей. – М.:Инфра-

М, 1998. – 463 с.

354

Навчальне видання

Ковтонюк Мар’яна Михайлівна

Комп’ютерна верстка та набір Пишняка О.В., Богословської І., Мазур А.

ЛЕКЦІЇ З МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ (Вступ в аналіз. Диференціальне числення функції однієї змінної) для студентів математичних спеціальностей педагогічних ВНЗ

Здано в набір 31.05.2007. Підписано до друку 1.06.2007 р. Формат 60х84 116 .

Папір офсетний. Гарнітура Times. Ум. друк. арк. 6,2.

Наклад 300 примірників. Замовлення № Віддруковано з оригіналів.

Віддруковано у ПП «Едельвейс і К»

21010 м.Вінниця, вул. 600-річчя, 17. Тел.: [phone]

355