4. Производные высших порядков.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n - 1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции:

у" = (у')' ; у"' = (у")' ; … ; у⁽ⁿ⁾ = (у^(n-1))' . (7.28)

если функция задана парамнтрически, то:

(у'_x)'_t (у"_xx)'_t (у^(n-1)_x)'_t

у"_xx = ―― ; у"'_xxx = ――― ; … ; у⁽ⁿ⁾_х = ――― .

х'_t х'_t х'_t

7.3. Геометрические и механические приложения производной.

1. Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением у =f(x) или F(х,у) = 0, то f' (х₀) = tg α есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла ее наклона с положительным направлением оси абсцисс).

Уравнением касательной к кривой у = f (х) в точке х₀ имеет вид:

y-f (x₀) = f '(x₀)(x-x₀), (7.30)

а уравнение нормали:

1

у – f (x₀) = - ―― (х – х₀). (7.31)

f'(x₀)

Углом между двумя кривыми у = f₁ (х), у = f₂ (х) в точке их пересечения М₀(х₀, у₀) называется угол между касательными к этим кривым в точке М₀, тангенс которого находится по формуле:

f'₂(х₀) - f'₁(х₀)

Tgφ = ―――――― . (7.32)

1+ f'₁(x₀)·f'₂(x₀)

2. Механический смысл производной. Если точка движется по закону s=s(t), где s – путь, t – время, то s'(t) представляет скорость изменения пути в момент t. Вторая производная пути по времени s"(t)=[s'(t)]'=ν'(t) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент t.

7.4. Предельный анализ экономических процессов

1. Предельные величины. Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность предельный доход, продукт и др.) характеризует не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Издержки производства. Если издержки производства у рассматривать как функцию выпускаемой продукции х, т.е. у = С (х), то у = С' (х) будет выражать предельные издержки производства и приближенно характеризовать прирост переменных затрат на производство дополнительной единицы продукции. Средние издержки являются издержками на единицу выпуска продукции: С (х)

У₁ = ―― .

х

2. Производительность труда. Пусть функция u(f) выражает объем произведенной продукции у за время t. Тогда производная объема произведенной продукции по времени u'(t₀) есть производительность труда в момент t₀.

3. Функция потребления и сбережения. Если х – национальный доход, С (х) – функция потребления (часть дохода, которая тратится), а S (х) – функция сбережения, то

х = С (х) + S (х). (7.33)

Дифференцируя, получим, что

dС dS

― + ― = 1, (7.34)

dх dх

где dС

― - предельная склонность к потреблению;

dх

dS

― - предельная склонность к сбережению.

dх

4. Эластичность. Эта мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.

Эластичность функции определяется с помощью соотношения:

х

Е_х (у) = ― · y'_х или Е_х (у) = х ·T_у, (7.35)

у

где 1

Т_у (х) = (ln y)'= ― y'_х (7.36)

у

- относительная скорость изменения (темп) функции.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения от цены (ценовая эластичность). Она показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и определяет, на сколько процентов приближенно изменится спрос или предложение при изменении цены на 1%.

Если эластичность спроса ׀ Е_х (у) ׀>1, то спрос считается эластичным, если ׀Е_х (у) ׀ =1 – нейтральным (с единичной эластичностью), а если ׀Е_х (у) ׀ <1 – неэластичным относительно цены.

Семинар№7. Применение дифференциального исчисления к

исследованию функции и построение их графиков.

1)Найти интервалы монотонности функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке.

2) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

3) Исследовать функцию и построить ее график