1.4 Задачи с экономическим содержанием

Понятие матрицы используется в практической деятельности. Например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов удобно записать в виде матриц.

Семинар№2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса.

ПЗ№2. Методом Гаусса найти матрицу, обратную матрице

5) Вычислить матрицу А^-1, обратную матрице

6) Найти общее или единственное решение однородых систем:

7) Вычислить определители заданных матриц:

Теоретический материал.

Системы линейных уравнений.

Общий вид системы m линейных уравнений с n переменными:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1jx_j+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n=b₂

………………………………………..

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_ijx_j+…+a_inx_n=b_i

……………………………………......

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n=b_m

2. В матричной форме система имеет вид:

АХ=В,

где

a₁₁ a₁₂ … a_1n x₁ b₁

A= a₂₁ a₂₂ … a_2n , X= x₂ , B= b₂

… … … … … …

a_m1 a_m2 … a_mn x_n b_m

Здесь А – матрица системы; Х- матрица-столбец переменных;В-матрица-столбец свободных членов.

3. Если определитель матрицы системы n линейных уравнений с n переменными ∆= A=0 (т.е. матрица А-невырожденная), то единственное решение системы определяется:

А) методом обратной матрицы по формуле:

Х=А^-1В

В) по формулам Крамера: х1=∆j/∆,

где ∆ј-определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой ј-ого столбца столбцом свободных членов В.

4. Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений.Для этого составляют расширенную матрицу коэффициентов (А|В), приписывая к матрице А столбец свободных членов В, затем матрицу (А‌‌‌‌‌|В) с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду; далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают её методом исключения переменных:начиная с последних переменных находят все остальные (так называемый «обратный ход»).

2.2 Система m линейных уравнений с n переменными

1. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы (А‌|В) (теорема Кронекера-Капелли).

2. Пусть r(A)=r,r<n; r переменных х1,х2,…,хr называются основными (базисными) ,если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остельные n-r переменных называются неосновными (или свободными).

Решение системы, в котором все n-r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Совместная система имеет:единственное решение, если n-r, и бесконечное множество решений, если r<n; число базмсных решений конечно и не превосходит С^r_n.

2.3 Метод Жордана—Гаусса.

Метод Жордана—Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в преобразовании расширенной матрицы системы (А\В) к ви-

ду, при котором r переменных системы (где г = rang (A\B)) образуют диагональную матрицу с точностью до перестановки строк или столб­цов, что позволяет сразу, без дополнительных преобразований, полу­чить решение системы.

На каждом шаге решения выбирается разрешающий элемент a_rs = 0 (любой элемент матрицы А, отличный от нуля); r-я строка называется разрешающей строкой, x_s —разрешающей переменной. Для перехода к следующему шагу разрешающая переменная x_s исключается из всех остальных уравнений; элементы разрешающей строки делятся на раз­решающий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по следующему правилу {правилу прямоугольника):

a_ij *a_rs-a_is*a_rj

a′ _ij= a_rs

В формулах исключения в числителе стоит произведение за­меняемого и разрешающего элементов минус произведение элемен­тов, стоящих в оставшихся углах прямоугольника:

Заменяемый элемент aij ais <—Разрешающая переменная

Разрешающая строка arj ars

Разрешающий элемент

После получения новой матрицы выбирается новый, отличный от нуля, разрешающий элемент в другой строке, вычисляется новая матрица и т.д., пока матрица А не будет приведена к диагональному виду.