8. Основные теоремы дифференциального исследования.

1. Теорема Ролля.

Пусть Функция у=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке (а,b)

2. дифференцируема на интервале (а,b)

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b).

Тогда на концах отрезка существует хоть одна точка ξ€(a,b),в которой производная функции равна нулю.

Теорема Лагранжа. Пусть Функция у=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке (а,b)

2. дифференцируема на интервале (а,b)

Тогда внутри отрезка существует хоть одна точка ξ€(a,b), в которой выполняется равенство:

f'(ξ)= f(b)-f(a)/b-a.

Теорема (правило) Лопиталя.Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) .

x→x₀(∞) x→x₀(∞)

Интервалы монотонности и экстремумы функции.

1. Если производная функции у=f(x) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то функция у=f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке.

2. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума)функции у=f(x), если существует интервал, содержащий точку х₀ , такой, что для всех х из этого интервала имеет место неравенство f(x₀)≥ f(x),( f(x₀) ≤ f(x).Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

3. Необходимое условие экстремума: в точке экстремума функции её производная либо равна 0, либо не существует.

4. Первое достаточное условие экстремума: если в точке х₀ функция у=f(x) непрерывна, а производная f'(x) при переходе через точку х₀ меняет знак, то точка х₀ – точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «-«, и минимума, если с «-« на «+».Если при переходе через точку х₀ производная не меняет знак, то значит в точке х₀ экстремума нет.

5. Второе достаточное условие экстремума: если в точке х₀ f'' (x₀)=0, а f'' (x₀)>0, то x₀ является точкой максимума функции.Если f'' (x₀)=0, а f'' (x₀)<0, то x₀ является точкой минимума.

6. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум функции у=f(x) на отрезке (а,b) следует выбрать наибольшее (наименьшее) из значений функции в критических точках, находящихся на интервале (а,b) и на концах отрезка (в точках а и b).

Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба.

1. Функция у=f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если для любых двух значений х ₁,х₂ из этого промежутка выполняется неравенство

f=( х ₁+х₂/2)≥ (f (х₁)+f(х₂))/2 f=( х ₁+х₂/2) ≤ (f (х₁)+f(х₂))/2 .

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

2. Если вторая производная f'' (x) функции у=f(x) положительна (отрицательна) на промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.

3. Если вторая производная меняет знак при переходе через точку х₀ , то точка х₀ является точкой перегиба функции у=f(x).

4. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. найти вторую производную функции.

2. найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

4. найти значения функции в точках перегиба.

Асимптоты. Исследование функций и построение графиков.

1. Прямая L является асимптотой графика функции у=f(x), если расстояние от точки (х,f(х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

2. Прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x), если хотя бы один из пределов lim f (x) (правосторонний или левосторонний) равен ±∞. x→x₀±0

3. Прямая y=b является горизонтальной асимптотой, если lim f(x)=b

x→∞

Если lim f(x)=b , то y=b-правосторонняя асимптота,

x→+∞

если lim f(x)=b , то y=b-левостороняя асимптота.

x→-∞

4. Общая схема исследования функций и построения графиков.

1. Найти область определения функции

2. Исследовать функцию на четность-нечетность

3. Найти вертикальные асимптоты

4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба

7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

8. Построить график функции.

Применение производной в задачах с экономическим содержанием

Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства х единиц данного продукта.

Прибыль Р(х) = D(x) –C(x),где D(x)-доход от производства х единиц продукта.

Средние издержки А(х) при производстве х единиц продукта есть С(х)/х.Предельные издержки М(х)=С'(х).

Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение х единиц продукта, при котором прибыль Р(х) оказывается наибольшей.

Семинар№8.

ПЗ 7-8. Приложение производной. Функции нескольких переменных.

1. Разбор домашнего задания №7

2. 1) Найти интервалы монотонности и точки эксремума функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке.

2) Найти интервалы монотонности и точки эксремума функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке.

3) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой.

4) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой.