3.3. Линейные операторы

1. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства Rⁿставится в соответствие единственный вектор у про­странства R^m, то говорят, что задан оператор (преобразование, ото­бражение) А(х), действующий из Rⁿ в R^m: у = А(х).

Рассматриваем случай, когда пространства Rⁿ и R^m совпадают.

2. Оператор А называется линейным, если для любых векторов x, у пространства Rⁿ и любого числа λ верны соотношения:

А(х+y)=A(x)+А(у),

А(λх) = λА(х).

3. Вектор у = А(х) называется образом вектора x, а сам вектор х — прообразом вектора у.

Связь между вектором х и его образом у = А(х) может быть пред­ставлена в виде:

У = Ах,где А — матрица линейного оператора; х = (x_ux₂ ..., х_n)' , y=(y₁,y₂,…,y_n)' векторы, записываемые в виде вектор-столбцов.

4. Сумма и произведение линейных операторов, а также произве дение линейного оператора на число определяются равенствами:

(Ấ+B)(х) = Ấ(х)+ В(х),

(ẤB)(х)=Ấ(В(х)),

λẤ(х)=λ(Ấ(х)).

5. Нулевым О(х) и тождественным Е(х) называются операторы, действующие по правилу:

О(х) = О,

Е(х) = х.

6. Матрицы А и А* линейного оператора Ấ в базисах (в₁, е₂, …, е_п) и (е₁,е*_г, ..., е*_n) связаны соотношением: А*=C^-1АС,

где С — матрица перехода от старого базиса к новому¹.

3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)

1. Вектор x≠О называется собственным вектором линейного опе­ратора Ấ (или матрицы А), если найдется такое число λ,, что

Ấ(х) = λх |или Ax=λх.

Число λ называется собственным (характеристическим)значением оператора Ấ(или матрицы А), соответствующим вектору х.

Определение может быть записано в виде:

(А-λЕ)х=0.

2. Характеристическим уравнением оператора А (или матрицы А) называется уравнение:

А₁₁-λ а₁₂ … а_1n

А ₂₁ а₂₂-λ … а_2n

(А-λЕ)= … … … …

А_n1 a_n2 … a_nn-λ

где определитель |А-λЕ| называется характеристическим многочле­ном оператора Ấ(или матрицы А).

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

3. Матрица оператора Ấ в базисе, состоящем из его собственных векторов с собственными значениями λ₁,λ₂,…,λ_n диагональной:

А* = diag(λ₁,λ₂,…,λ_n).

И обратно, если матрица А линейного оператора Ấ в некото­ром базисе является диагональной, то все векторы этого азиса — собственные векторы оператора Ấ с собственными зна­чениями λ₁,λ₂,…,λ_n.

3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)

Линейная модель обмена {модель международной торговли) по­зволяет найти национальные доходы стран (или их соотношение) для сбалансированной торговли.

Пусть х = (х₁, х_2,…, х_n) вектор национальных доходов стран S₁,S₂..., S_n, а А_n*n=(a_ij) – структурная матрица торговли,где a_ij –доля национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i ,

причем ∑ a_ij =1.Для сбалансированной торговли необходимо найти такой равно­весный вектор национальных доходов х, чтобы Ax=x.Задача свелась к отысканию собственного вектора x отвечающего собственному значению λ = 1.

Семинар№4. Различные уравнение прямой и плоскости.

Уравнение линии. Прямая и плоскость

Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости.

ПЗ№4.Составить уравнения всех сторон треугольника АВС, где А(3,2), В(5,-2) и С(5,2). Найти их длины.

5) Через точки А(1,-2) и В(5,4) проведена прямая. Составить уравнения прямых, проходящих через точку С(-2,0) перпендикулярно и параллельно прямой АВ. Вычислить растояние от точки С до прямой АВ.

6) Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

7) Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(-1,2,1) и

а) имеющий направляющий вектор ;

b) перпендикулярной плоскости 3x-y-2z+1=0;

с) проходящей через точку М₀ и М₁(3,2,4).

1. Расстояние d между двумя точками М₁(х₁) и М₂(х₂) координатной оси находится по формуле:

d = │х₂ – х₁│.

2. Расстояние d между двумя точками М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) плоскости находится по формуле:

d = √(х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)² .

3. Расстояние d между двумя точками М₁(х₁,у₁,z₁) и М₂ (х₂,у₂,z₂) пространства находится по формуле:

d = √(х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)² + (z₂ – z₁)² .

4. Координаты (х,у) точки М, делящей отрезок с концами М₁ (х₁,у₁) и М₂ (х₂,у₂) в отношении λ, т.е. │М₁М│: │ММ₂│= λ , находится по формуле:

х₁+λх₂

х = ­­­­­­­­­­­­―――,

1 + λ

у₁+λу₂

у = ――― .

1 + λ

5. Координаты (х,у) точки М – середины отрезка с концами М₁ (х₁у₁) и М₂ (х₂,у₂) находятся по формуле:

х₁+х₂

х = ­­­­­­­­­­­­―――,

2

у₁+у₂

у = ――― .

2

6. Уравнение прямой:

- с угловым коэффициентом к и начальной ординатой b:

у = кх +b;

- проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом к) через данную точку М (х₀, у₀):

у – у₁ = к (х₁ - х₁);

- проходящей через две данные точки М₁ (х₁,у₁) и М₂ (х₂,у₂):

у – у₁ х – х₁

―― = ――

у₂ –у₁ х₂ – х₁

у₂ – у₁

( с угловым коэффициентом к = ――― );

х₂ – х₁

- в отрезках:

х у

― + ― = 1

а b

(а и b – соответственно отрезки, отсекаемые на осях Ох и Оу);

- общее:

Ах + Ву +С = 0.

7. Расстояние d от точки А (х₀,у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 находится по формуле:

│Ах₀ + Ву₀ + С│

d = ――――――― .

√ А² + В²

8. Две прямые (1) и (2) заданы уравнениями у = к₁х +b₁ и у = к₂х +b₂ или А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Угол φ между прямыми находится из соотношения:

←

к₁ – к₂

tg φ = ―――

1+к₁к₂

или

± (А₁А₂ + В₁В₂)

соs φ = ―――――――

√А₁²+В₁² √А₂²+В₂²

Условие параллельности прямых:

А₁ В₁

к₁ = к₂ или ― = ― ;

А₂ В₂

Условие перпендикулярности прямых:

1

к₂ = - ― или А₁А₂ + В₁В₂ = 0

к₁

Точка пересечения двух прямых находится из решения системы:

у = к₁х +b₁, А₁х + В₁у + С₁ = 0,

или

у = к₂х +b_2, А₂х + В₂у + С₂ = 0.