3.1. Векторы на плоскости и в пространстве

1. Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать парал­лельно самому себе).

Длиной (или модулем) |АВ|‌‌‌‌ вектора АВ называется число, равное

длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

2. Произведением вектора а на число λ на­зывается вектор в= λа, имеющий длину |b| = |λ| |а|, направление которого совпадает с направлением вектора а , если λ> 0, и проти­воположно ему, если λ< 0.

Суммой двух векторов а и b называется вектор с =а + b , определяемый по правилу треугольника или параллелограмма.

Разностью двух векторов а и b называется вектор с = а + (-в).

3.Координатами (х, у) или (х, у, z) вектора а называются коорди­наты его конечной точки, если начальная точка вектора совпадает с началом координат.

Вектор а = (х, у, z) может быть представлен в виде

а = xi + yj + zk

где i, j, k — единичные векторы (орты), совпадающие с направле­нием осей соответственно Ox, Oy, Oz; |i | = |j| =|k| = 1.

4.Длина |а| вектора а определяется по формуле:

|а| = х²+у²

или |а|= х²+у²+z²

5. Направляющими косинусами вектора а называются числа cos α, cos β, cos γ, где α, β, γ — углы наклона вектора а к осям Ох, Oy, Oz соответственно:

cos α=x/ x²+y²+z², cos β=y/ x²+y²+z², cos γ=z/ x²+y²+z²

при этом cos² α + cos² β + cos² γ= 1.

6. Координаты суммы двух векторов а = (х₁, у₁, _z1) и

b = (х₂, у₂,z₂) и произведение вектора а на число λ определяются по формулам:

a + b =( х₁, у₁, _z1)+( х₂, у₂,z₂)= (x_l+x₂, y₁+ y₂, z_l+z₂), λа = λ(х₁, у₁, _z1) = (λх₁, λу₁, λ_z1).

7. Проекцией пр а вектора а на ось I называется число

пр/ а = |a| cosφ, где φ — угол наклона вектора а к оси /.

8. Скалярным произведением (а, в) двух векторов а и в называ­ется число

(а, b)=ab=|а| ‌‌|b| cosφ

Скалярное произведение двух векторов а = (х₁, у₁, _z1) и b= (х₂, у₂,z₂) выражается формулой:

(а,b)=ab=x_lx₂+y₁y₂+z₁z₂.

Скалярный квадрат вектора а = (х,у,z) равен квадрату его длины:

(а,а)=а² =|а|² =x²+y²+z².

9. Угол φ между векторами а = (х₁, у₁, _z1) и b(х₂, у₂,z₂) = нахо­дится по формуле:

cos φ=(а, b)/ |а| ‌‌|b|= x_lx₂+y₁y₂+z₁z₂/ x₁²+y₁²+z₁²* x₂²+y₂²+z₂².

10. Два вектора а, b называются ортогональными, если их ска­лярное произведение равно нулю, т. е. аb = 0.

11. Для двух векторов а = (х₁, у₁, _z1) и b= (х₂, у₂,z₂): условие коллинеарности (параллельности)

b=ka,или x₂/x₁=y₂/y₁=z₂/z₁=k

условие ортогональности (перпендикулярности)

аb = 0 или x_lx₂+y₁y₂+z₁z₂=0

3.2. n-мерный вектор и векторное пространство. Евклидово пространство

1. п-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел х = (х₁, х_2,…, х_n), где х_i — i-я компонента век-

тора x(i= 1, ..., n).

Векторы х = (х_1, х₂, ..., х_n) и у = (у_1, у₂, ..., у_n) равны, т.е. x=у, ес­ли

х_i=y_i, (i=1,2,…,n).

Произведением вектора х = (х₁, х_2,…, х_n) на число λ называется вектор и = λx, если u_i= λx_i (i=1,2,…,n).

Суммой двух векторов x=(х_1, х₂, ..., х_n) и у =(у_1, у₂, ..., у_n) называ­ется вектор z= х + у, если z_i = x_i+y_i (i = 1,2, ..., n).

2. Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющим определенным¹ свойствам, (рассматривае­мым как аксиомы).

3. Вектор а_т называется линейной комбинацией векторов а₁,а₂, ...,a_m-1, если

а_m =λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_m-1a_m-1,

где- какие-то числа.

4. Векторы а_1, а₂, ..., а_т называются линейно зависимыми, есда существуют такие числаλ₁,λ₂,…,λ_m, не равные одновременно нулю что λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m=0.

если равенство выполняется только при λ₁=λ₂=…=λ_m ⁼ 0, то векторы а_1, а₂, ..., а_т называются линейно независимыми.

5. Размерность пространства — максимальное число содержа­лся в нем линейно независимых векторов.

Базисом п-мерного пространства называется совокупность п линейно независимых векторов.

Разложение вектора х по базису (е₁, е₂, ..., е_п):

х = x₁e₁ + x₂e₂+.. .+х_nе_n

где x₁, х₂, ..., х_п — координаты вектора.

6. Переход от старого базиса (е₁, е₂, ..., е_n) к новому (е*₁, е*₂, ..., е*_п) задается матрицей перехода

a₁₁ a₂₁ … a_n1

А = a₁₂ a₂₂ … _an2

… … … …

a_n1 a_2n … a_nm

так, что е*₁ е₁

… = A'* …

е*_п е_п

Переход от координат x₁, х₂, ..., х_п вектора х относительно старого базиса к координатам вектора х*₁, х*₂, ..., х*_n относительно нового ба­зиса осуществляется по формулам:

х*₁ x₁

х*₂ x₂

… = A^{-1 …}

х*_n x_n

или x₁ х*₁

x₂ х*₂

… = A …

x_n х*_n

где А — матрица перехода.

7. Скалярным произведением двух векторов х = (х₁, х_2,…, х_n) и у = (у_1, у₂, ..., у_n) называется число

(х, у) = х₁у₁ +х₂у₂ +… + х_пу_n=∑ x_iy_i

8. Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов удовлетворяющих определенным¹ свойствам.

Длиной (нормой) вектора х в евклидовом пространстве называется число

|х| = x,x =x₁²+x₂²+…+x_n².

9. Угол φ между векторами х и у определяется равенством:

cos φ=(x,y)/|x| |y|,

где 0 < φ < п.

10. Два вектора x, у называются ортогональными, если (x, у) = 0. Векторы е₁, е₂, ..., е_n n-мерного евклидова пространства образуют

ортогональный базис, если (е_i,e_j) = 0 при i≠j— ортонормирован-ный базис, если (е_i,e_j) = 0 при и i≠j и e_i = 1 при i= 1, 2, ..., п.