1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица.

1. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:

а₁₁ а₁₂

∆₂ = |А|‌‌‌‌ = = а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁

а₂₁ а₂₂

2. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или по правилу Сарруса.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

∆₃ = ‌‌‌‌‌‌‌|А| = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₂₁а₃₂а₁₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ – а₃₁а₂₂а₁₃ -

а₃₁ а₃₂ а₃₃

- а₂₁ а₁₂ а₃₃ – а₃₂ а₂₃ а₁₁,

где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «-» (правая схема)

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

3. Определитель квадратной матрицы n-го порядка определяется более сложным образом. Он может быть вычислен по теореме Лапласа.

4. Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрицы n-ого порядка называется её минор M_ij,т.е. определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-той строки и j-ого столбца, взятый со знаком (-1)^i+j:

А_ij=(-1)^i+j M_ij.

5. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

n n

А = ∑ а_іј А_іѕ = ∑ а_sj A_sj

6. Определитель треугольной и ,в частности, диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

7. Некоторые свойства определителей квадратных матриц:

А) определитель не меняется при транспонировании матрицы;

В) определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (столбцы) матрицы;

С) определитель равен нулю, если: все элементы любой строки (или столбца) равны нулю;элементы любых двух строк (столбцов) пропорциональны либо D) определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на число, отличное от нуля.

8. Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля, т.е. А = 0.

9. Обратная матрица А^-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е.‌ ∆А‌‌≠0. В этом случае её можно найти по формуле:

А^-1 = 1/∆ *Ã,

где Ã- присоединенная матрица, элементы которой А_ks=A'_ks равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы А', транспонированной к матрице А.

1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.

1. Рангом матрицы А (rang A или r(A) ) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

2. Свойства ранга матрицы:

А) если матрица А имеет размеры m*n,то rang A < min (m; n);

B) rang A =0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны 0;

С) если матрица А-квадратная порядка n,то rang A=n,тогда и только тогда, когда А=0

3. Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:

А) отбрасывание нулевой строки (столбца)

В) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю

С) изменение порядка строк (столбцов) матрицы

D)прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число

Е) транспонирование матрицы.

4. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:

а₁₁ а₁₂ … а_1r … а_1k

0 а₂₂ … а_2r … a_2k

А= . . . . . .

0 0 … a_rr … a_rk

где а_ij=0,i=1,…,r; r<k.

5. Строки (столбцы) матрицы е₁,е₂,…,е_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁,λ₂,….,λ_m, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: λ₁е₁+λ₂е₂+…+λ_me_m=0,где 0=(0,0,..,0).В противном случае строки называются линейно зависимыми.

6. Теорема о ранге матрицы:

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов.