Задание 2

Исследовать на линейную зависимость систему векторов

Вариант
1	(-2,1,5)	(4,-3,0)	(0,-1,10)
2	(2,0,2)	(1,-1,0)	(0,-1,-2)
3	(5,4,3)	(3,3,2)	(8,1,3)
4	(1,1,1)	(0,1,1)	(0,0,1)
5	(1,2,3)	(4,5,6)	(2,-1,3)

Задание 3

Определить Размерность линейного пространства решений заданной системы

1. 3x₁+x₂-8x₃+2x₄+x₅=0 2.x₁+x₂-10x₃+x₄-x₅=0 3. 2x₁-x₂+2x₃-x₄+x₅=0

2x₁-2x₂-3x₃-7x₄+2x₅=0 5x₁-x₂+8x₃-2x₄+2x₅=0x₁+10x₂-3x₃-2x₄+2x₅=0

x₁+11x₂-12x₃+34x₄-5x₅=0 3x₁-3x₂-12x₃-4x₄+4x₅=0 4x₁+19x₂-4x₃-5x₄-x₅=0

4. x₁+2x₂+x₃+4x₄+x₅=0 5. 5x₁-2x₂+3x₃-4x₄-x₅=0

2x₁-x₂+3x₃+x₄-5x₅=0 5x₁-2x₂+3x₃-4x₄-x₅=0

x₁+3x₂-x₃-6x₄-x₅=0 5x₁-2x₂+3x₃-4x₄-x₅=0

. Задание 4

Дан вектор в базисе b, найти его координаты в базисее

Вариант1 Вариант2 Вариант3 Вариант4 Вариант5

=(6, -1, 3) =(1, 3, 6) =(-1, 7, 14) =(-3, 2, 4) =(2, 4, 3)

e₁=b₁+b₂+2b₃ e₁=b₁+b₂+4b₃ e₁=b₁+b₂+8b₃ e₁=-b₁+b₂-b₃ e₁=-b₁-b₂

e₂=2b₁-b₂ e₂=4/3b₁-b₂ e₂=8/7b₁-b₂ e₂=b₁-b₂-b₃ e₂=b₁+b₂+0,5b₃

e₃=-b₁+b₂+b₃ e₃=-b₁+b₂+b₃ e₃=-b₁+b₂+b₃ e₃=-b₁+2b₂+b₃ e₃=-b₁+b₂+b₃

Задание 5

Линейный оператор А в базисе e=e₁, e₂, e₃имеет матрице А_е. Найдите матрицу этого оператора в базисе b=b₁, b₂, b₃, если базисы eи b связаны заданными соотношениями.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 А_E =А_E =А_E =А_E =

Вариант 5

А_E =

b₁=e₁-e₂+e₃b₁=2e₁+3e₂+e₃b₁=e₁+e₂+e₃b₁=e₁+e₂-6e₃b₁=2e₁+3e₁+e₃

b₂=-e₁+e₂-2e₃ b₂=3e₁+4e₂+e₃b₂=4e₂+e₃b₂=6/7e₁-e₂b₂=3e₁+4e₂+e₃

b₃=-e₁+2e₂+e₃ b₃=e₁+2e₂+2e₃b₃=e₁+2e₃b₃=-e₁+e₂+e₃b₃=e₁+2e₂+2e₃

Задание 6

Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора А, имеющего в некотором базисе е= е₁, е₂, е₃матрицу А_е

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 А_E =А_E =А_E =А_E =

Вариант 5

А_E =

Задание 7

Убедитесь, что в R³ векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис. С их помощью постройте ортонормированный базис е₁, е₂, е₃

Вариант 1	а1=(2,1,2)	а2=(1,0,3)	а3=(-4,1,2)
Вариант 2	а1=(-1,1,0)	а2=(0,1,1)	а3=(2,0,1)
Вариант 3	а1=(-3,,)	а2=(5,-1,1)	а3=(,1,1)
Вариант 4	а1=(2,2,1)	а2=(3-1,1)	а3=(4,-2,3)
Вариант 5	а1=(2,4,0)	а2=(0,3,1)	а3=(-1,1,1)

Задание 8

Приведите квадратичную форму к каноническому виду методом выделения квадратов.

Вариант 1 4x²+z²+8xy+4xz Вариант 4 x²+2xy+2y²+2xz+4yz+3z²

Вариант 2 x²+3y²+4xy+2xz+2yz+z² Вариант 5 x²+2y²+4xz+4yz

Вариант 3 ч²-н²+2чн+2чя

Задание 9

Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным

преобразованием.

Вариант 1 -x²+2xy-y²

Вариант 2 4x²+4xy+8yz-3z²-4xz

Вариант 3 x²+y²+z²-4/3xz-8yz

Вариант 4 -x²-y²-3z²-2xy-6xz+6yz

Вариант 5 2x²+8xy+2y²+2z²+8xz-8y

Зачет №4

Математический анализ

1. Найти производные функций:

1. у = 4х⁵ – 2х³ + 3

2. y=2x

3. y=x

4. y=

5. y=arctgx

6. y=

7. y=ln

1. Написать уравнение касательной к кривой y=в т.x =2

2. Вычислить пределы:

1. 4)

2. 5)

3. 

1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функции

1. у = х³ -6х² +12х + 4

2. 

5. Исследовать функции и построить графики:

1) у = 3х – х³

2)

14. Тезисы лекций

№	Тема лекции	Тезисы лекции
1	2	3
1	Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.	Понятие о системе линейных уравнений с n не известными. Определители 2-го и n-го порядка, их свойства и вычисление. Правило Крамера и метод Гаусса для систем n линейных уравнений с n неизвестными. Матрица и ее ранг. Операции над матрицами. Матрица, обратная для данной и ее вычисление.
2	Элементы векторной алгебры и матричного анализа. Элементы аналитической геометрии.	Коллинеарные и компланарные векторы. Операции над векторами. Свойства суммы векторов. Единичный вектор. Основные теоремы о проекциях векторов на ось. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Разложение вектора по ортам. Операции над векторами, заданных в координатной форме. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение векторов, заданных координатами. Угол между векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение линии. Примеры составления уравнений данных линий. Построение линии по данному уравнению. Пересечение двух линий. Классификация линий. Различные способы задания прямой.
3	Введение в анализ. Пределы и непрер-ть.	Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Понятие предела числовой последовательности. Ограниченность сходящихся последовательностей. Арифметические действия с пределами. Сходимость монотонных и ограниченных последовательностей. Понятие предела функции. Непрерывные функции.
4	Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная. Дифференциал функции.	Определение производной. Геометрический смысл производной. Свойства производной. Производные основных элементарных функций. Определение дифференциала, связь с приращением. Свойства дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
5	Приложение производной. Функции нескольких переменных.	Уравнение касательной к нормали к плоской кривой. Угол между двумя кривыми. Производные высших порядков. Механический смысл производной второго порядка.
6	Интегральное исчисление.	Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Интегрирование путем замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегралы не выражающиеся через элементарные функции в конечном виде. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства определенных интегралов. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площадей поверхностей вращения, длин дуг и объемов тел. Несобственные интегралы.
7	Дифференциальные уравнения.	Дифференциальные уравнения первого порядка и их решения. Геометрический смысл дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. Однородные уравнения первого порядка. Линейные уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
8	Ряды. Числовые ряды.	Ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости положительных рядов. Признак Даламбера. Интегральный признак Коши.
9	Введение в теорию вероятностей.	Случайные события. Случайные величины. Функции распределения вероятностей. Дискретные и непрерывные распределения. Математическое ожидание и дисперсия.
10	Теория вероятностей.	Одномерные и многомерные распределения. Предельные теоремы. Закон больших чисел. Цепь Маркова.
11	Математическая статистика.	Понятия выборки, статистики и статистической оценки. Статистическое оценивание. Проверка статистических гипотез.
12	Временные ряды.	Модели временных рядов и их составляющие.
13	Классическая линейная модель множественной линейной регрессии.	Модель парной регресии. Св-ва коэффициентов регресии. Теорема Гаусса-Маркова. Формулы для коэффициентов и стандартных ошибок. Статистическая значимость коэффициентов линейной регрессии.
14	Спецификация переменных. Мультиколлинеарность. Автокорреляция. Гетероскедастичность.	Влияние мультиколлинеарности на R^2. Неэффективность МНК в случае гетероскедастичности. Автокорреляция первого порядка. Коэффициент детерминации.
15	Нелинейные эконометрические модели.	Простейшие модели. Нелинейность по переменным и нелинейность по параметрам. Система одновременных уравнений.

14. Активные раздаточные материалы.

ПЗ №1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.

1Разбор домашнего задания №1.

2) Найти произведение двух квадратных матриц одного порядка: С=АВ, где

2) Умножить матрицу А на В: С=АВ:

3) Привести матрицу А к ступенчатому виду и определить ее ранг:

ПЗ№2. Методом Гаусса найти матрицу, обратную матрице

5) Вычислить матрицу А^-1, обратную матрице

6) Найти общее или единственное решение однородых систем:

7) Вычислить определители заданных матриц:

ПЗ №3. Элементы векторной алгебры и матричного анализа. Элементы аналитической геометрии.

3. Разбор домашнего задания №2

4. 1) Даны векторы и. Найти косинус угла между векторамии.

2) При каком значении векторыиортогональны (угол между ними равен)? Векторы и.

3) Вычислить угол между векторами и, если,.

ПЗ№4.Составить уравнения всех сторон треугольника АВС, где А(3,2), В(5,-2) и С(5,2). Найти их длины.

5) Через точки А(1,-2) и В(5,4) проведена прямая. Составить уравнения прямых, проходящих через точку С(-2,0) перпендикулярно и параллельно прямой АВ. Вычислить растояние от точки С до прямой АВ.

6) Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

7) Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(-1,2,1) и

а) имеющий направляющий вектор ;

b) перпендикулярной плоскости 3x-y-2z+1=0;

с) проходящей через точку М₀ и М₁(3,2,4).

ПЗ № 5. Введение в анализ. Пределы и непрерывность.

3. Разбор домашнего задания №3

4. Найти пределы: 1) ; 2)

3) ; 4); 5)

6) ; 7)

ПЗ №6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная. Дифференциал функции.

3. Разбор домашнего задания №4

4. Пользуясь определением производной, найти производный функций: 1) y=C, где C=const; 2) ; 3) y=sinx

Найти производные функций и вычислить их значения при x=2 и x=0:

1) ; 2); 3)

Найти производные следующих функций: 1) y=sin⁵x; 2) y=cos5x; 3) y=ln(x²+1); 4) y=7^8x-3; 5) y=(1-2x)⁵⁰

ПЗ 7-8. Приложение производной. Функции нескольких переменных.

3. Разбор домашнего задания №5

4. 1) Найти интервалы монотонности и точки эксремума функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке.

2) Найти интервалы монотонности и точки эксремума функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке.

3) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой.

4) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой.

ПЗ №9. Интегральное исчисление.

3. Разбор домашнего задания №6

4. Найти неопределенные интегралы:

; 2) ; 3); 4).

ПЗ№10.5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y²=9x и y=3x.

6) Найти площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой xy=4 и прямой x+y=5.

7) Определить длину половины окружности x²+y²=9.

ПЗ №11. Дифференциальные уравнения.

3. Разбор домашнего задания №10

4. Найти общее решение: 1) ; 2) ; 3)

Решите задачу Коши: 1) ;

2)

ПЗ №12. Ряды. Числовые ряды.

3. Разбор домашнего задания №11

4. 1) Найти общий член ряда: ;

2) Найти сумму ряда: ;

3) Исследовать сходимость ряда: ;

4) Исследовать сходимость ряда: ;

5) Исследовать сходимость ряда: .

ПЗ №13. Введение в теорию вероятностей.

3. Разбор домашнего задания №12

4. 1) Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

2) В ящике содержится 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, ..., 10. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажется деталь №1.

3) В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

4) Вероятность успешной попытки выполнить упражнение для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди. Причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.

5) Отрезок АВ длиною 15 см разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две-правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависист от его расположения.

6) Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

а) Х 2 4 5 6

Р 0,3 0,1 0,2 0,4

б) Х 10 15 20

Р 0,1 0,7 0,2.

Построить многоугольник распределения.

7) Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х -4 6 10

р 0,2 0,3 0,5.

ПЗ №14. Теория вероятностей.

3. Разбор домашнего задания №13

4. 1) Двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность вероятности: . Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми х=0, х=1, у=0, у=1.

2) Система двух случайных величин (X,Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми у=х, у=5, х=5. Найти: а) МX, МY, DX, DY; б) коэффициент корреляции .

3) Определить плотность вероятности ситемы двух положительных случайных величин X,Y по заданной функции распределения: .

4) Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены с MX=MY=0, DX=DY=25. Найти вероятность того, что случайная точка (X,Y) попадет в кольцо: .

5) В механическом цехе работают К токарей. Вероятность того, что токарю потребуется резец данного типа, равна p. Сколько резцов данного типа должна иметь инструментальная кладовая, чтобы потребность в них была обеспечена с вероятностью 0,95?

6) Нарисуйте граф состояний для марковской цепи, вероятности перехода которой заданы матрицей .

ПЗ №15. Математическая статистика.

3. Разбор домашнего задания №14

4. 1) Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

x_i 1 4 6

n_i 10 15 25.

2) Построить полигон частот по данному распределению выборки:

x_i 1 4 5 7

n_i 20 10 14 6.

3) Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60:

варианта x_i 1 3 6 26

частота n_i 8 40 10 2.

Найти несмещенную оценку генеральной совокупности.

4) Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратичное отклонение σ=5, выборочная средняя и объем выборкиn=25.

5) Найти коэффициент линейной корреляции между признаками Х и Y и написать уравнения прямых регрессии для корреляционной таблицы признаков:

X/Y	11	16	21	26	31	36	Ni*
25	2	4					6
35		6	3				9
45			6	45	4		55
55			2	8	6		16
65				4	7	3	14
Nj*	2	10	11	57	17	3	100

14. Контрольно-измерительные средства знаний (Вопросы для рубежного контроля)

15. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

1. Уравнение линии. Примеры составления уравнений данных линий. Построение линии по данному уравнению. Пересечение двух линий. Классификация линий.

2. Различные способы задания прямой.

3. Понятие о системе линейных уравнений с n не известными.

4. Определители 2-го и n-го порядка, их свойства и вычисление.

5. Правило Крамера и метод Гаусса для систем n линейных уравнений с n неизвестными.

6. Матрица и ее ранг. Операции над матрицами. Матрица, обратная для данной и ее вычисление.

7. Коллинеарные и компланарные векторы. Операции над векторами. Свойства суммы векторов. Единичный вектор. Основные теоремы о проекциях векторов на ось.

8. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Разложение вектора по ортам.

9. Операции над векторами, заданных в координатной форме. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение векторов, заданных координатами. Угол между векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.

10. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Понятие предела числовой последовательности. Ограниченность сходящихся последовательностей.

11. Арифметические действия с пределами. Сходимость монотонных и ограниченных последовательностей.

12. Понятие предела функции. Непрерывные функции.

13. Определение производной. Геометрический смысл производной. Свойства производной. Производные основных элементарных функций.

14. Определение дифференциала, связь с приращением. Свойства дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

15. Уравнение касательной к нормали к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.

16. Производные высших порядков. Механический смысл производной второго порядка.

17. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

18. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование.

19. Интегрирование путем замены переменной. Интегрирование по частям.

20. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегралы не выражающиеся через элементарные функции в конечном виде. Интегрирование рациональных функций.

21. Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции.

22. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства определенных интегралов.

23. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площадей поверхностей вращения, длин дуг и объемов тел.

24. Несобственные интегралы.

25. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решения. Геометрический смысл дифференциальные уравнения первого порядка.

26. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. Однородные уравнения первого порядка.

дифференциальным уравнениям.