2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

1. Система называется однородной, если все свободные чле­ны уравнений равны нулю:

a ₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=0

…………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=0

Решение системы записываем в виде строки (вектора)

e=(x₁,x₂,…,x _n).

1 2. Если ранг матрицы системы г (А) = г < n, то система имеет n- r линейно независимых решений e₁,e₂,…,e_n-r, причем любое ре­шение системы является линейной комбинацией решений e₁,e₂,…,e_n-r. Набор решений (векторов) e₁,e₂,…,e_n-r называется фунда­ментальной системой решений системы. Общее решение системы имеет вид:

c₁e₁+c₂e₂+…+c_n-r e_n-r

где c₁,c₂,…,c _n-r - произвольные числа.

3. Для нахождения фундаментальной системы решений системы:

а) r основных (базисных) переменных (с отличным от нуля базисным минором) выражают через неосновные (свободные) переменные;

б) поочередно заменяют (n - r) неосновных переменных элемен­тами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n-r, например, единичной Е_n-r.

2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

1. Уравнения xi=∑ x_ij+y_i, (i = 1, 2, ...,n) называются соотно-

j=1

шениями баланса, где х₁- - объемы валового продукта i-й отрасли для не­производственного потребления, х_ij — объем продукции i-й отрасли, по­требляемой j-й отраслью в процессе производства (i = 1,2,..., n).

2. Соотношения баланса могут быть записаны:

а) в виде

x_i=∑ a_ijx_j+y_i (i = 1,2,..., n),

j=1

где aij=x_ij/x_j (i,j = 1,2,..., n).

— коэффициенты прямых затрат, показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли;

б) в матричном виде: X=AX+Y

или (E-A)X=Y,

где

x₁ a₁₁ a₁₂ … a_1n y₁

x₂ a₂₁ a₂₂ … a_2n , y₂

X= … , A= … … … … Y= … .

x_n a_n1 a_n2 … a_nn y_n

X — вектор валового выпуска, Y — вектор конечного продукта, А — матрица прямых затрат.

3. Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Вектор X находится по формуле:

X=(E-A)^-1*Y=SY.

4. Матрица S = (Е — А)^-1 называется матрицей полных затрат, элемент которой s_ij показывает величину валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимой для обеспечения выпуска единицы конечно­го продукта j-й отрасли y_j= 1 (j= 1, 2, ..., n).

5. Матрица А > 0 называется продуктивной, если для любого век­тора Y> 0 существует решение Х> 0 уравнения .

Матрица А продуктивна, если a_ij > 0 для любых i,j= 1,2, ...,n и

max ∑a_ij< 1 и существует номер j такой, что ∑a_ij< 1

5. Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли.

Семинар №3. Сложение, скалярное умножение векторов. Ранг

системы векторов. Разложение вектора по базису.

ПЗ №3. Элементы векторной алгебры и матричного анализа. Элементы аналитической геометрии.

1. Разбор домашнего задания №2

2. 1) Даны векторы и. Найти косинус угла между векторамии.

2) При каком значении векторыиортогональны (угол между ними равен)? Векторы и.

3) Вычислить угол между векторами и, если,.