Тема 9. Основные законы распределения

случайных величин

Среди общих законов д.с.в. наиболее распространённым является биномиальный закон распределения, с которым мы уже встречались. Здесь рассмотрим более подробно этот и другие законы, их производящие функции и основные числовые характеристики: м.о., дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

1. Биномиальный закон распределения (Закон Бернулли)

Напомним, что если вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна,. Как было показано в первой части, при этих условиях вероятность того, что прииспытаниях событиеосуществитсяраз, определяется формулой Бернулли

..

или

где .Составим таблицу распределения биномиального закона:

Х				m
P

Контроль-

Как было показано ранее из , ввиду равенстваполучим

.

Биноминальнымназывается распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон называется «биноминальным» потому, что правую часть равенства , можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

.

Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого событияA раз вn– независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события () раз, и т.д. последний членопределяет вероятность того, что событияне появится ни разу.

Функция распределения с.в.распределенный по биномиальному закону, имеет вил:

(1)

Выпишем производящую функцию биномиального распределения

(2)

То ест . Очевидно,

Продифферецируя равенство (2) почленно относительно , получим соответственно

(3)

Следовательно, имеет место утверждение

Теорема 9.1. Для числовых характеристик биномиального распределения имеют место равенства:

(4)

Доказательство. На основании равенств (38) пункта 8 и равенства (3) настоящего раздела, также с учётом равенства, получим

Утверждение доказано.

Пример 1.Монета брошена 3 раза. Найти закон распределения с.в.- числа выпадения герба, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.Сначала найдем закон распределения дискретной случайной величины, т.е..

Вычислим по формуле Бернулли величины , гдеИмеем

,,

,.

Отсюда, получим следующий закон распределения:

	0	1	2	3

Теперь найдем математическое ожидание

.

Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

.

.

Заметте, что эти равенства легко определяются по теореме1 (см. (4)). Действительно,

.

Пример 2 Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятностьотказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1.

1.Определить с.в.и составить закон распределения количества отказавших элементов в одном опыте.

2.Найти числовые характеристики данной случайной величины.

Решение. Дискретная случайная величинаХ(число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения:(ни один из элементов устройства не отказал),(отказал один элемент),(отказали два элемента) и(отказали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, получим:

Искомый биноминальный закон распределения случайной величины Х будет иметь вид:

X	0	1	2	3
P	0,729	0,243	0,027	0,001

Контроль-.

Найдём математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по формулам (4) теоремы 1

Пример 3. Игральный кубик брошен 4 раза. Написать закон распределения числа появлений тройки.

Решение.Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Найдем их вероятности по формуле Бернулли дляи.

,

,,.

Построим закон распределения рассмотренного примера

	0	1	2	3	4

Контроль -.

Задание.Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величиныдвумя способами: по формулам (4) и по определению этих величин.