5. Равномерный закон распределения

Пусть задана произвольная н.с.в.,определённая на отрезке Говорят, что непрерывная с.в. имеет равномерное распределение на отрезке ,если плотность вероятности постоянна на всем отрезке, а вне его равна нулю:

(20)

т.е. еслино (основное условие контроль) должно выполняться

(21)

Отсюда, по свойству аддитивности интегралов легко видеть, что постоянное число

Замечание.

1. В соответствии с формулой (12) (см. пункта 5, темы 7), вместо отрезка можно писать любой из интервалов:так как с.в.непрерывна.

2. Плотность обратно пропорциональна к длине интервала(), т.е. когда длина отрезки мала, то плотность распределения большая, а при большой длины отрезки, напротив, плотность распределения мала.

(График- равномерного распределения н.с.в.изображен на рис. 28,Письменный).

Равномерное распределение н.с.в. на участкебудем обозначать:.

Найдем функцию распределения , и основные числовые характеристики.

Теорема 9.5. Для непрерывной случайной величины справедливы равенства:

1.

2. .

Доказательство.Вычислим функцию распределения. Воспользуемся формулой (10), п.5, тема 7, и определением функции плотности: приПриимеем

(22)

Наконец, при (с учётом равенство (20) и значения функции плотности при любом) получим

.

График функции закона равномерного распределения на стр. 92, рис.29.

Определим числовые характеристики

Согласно определению математического ожидания н.с.в.(формула (7), пункта 1., Т. 8.), и с учётом определения функции плотности имеем:

Согласно определению дисперсии н.с.в.(формула (12), пункт 2., Т. 8.), и с учётом определения функции плотности получим:

=

;

Согласно определению с.к.о. (формула (16), Т. 8.) получим

Теорема доказана.

Отметим также выполнения дифференциального закона: .

Пример 7.Пусть с.в.Найдём вероятность попадания с.в.в интервалпринадлежащей целиком интервалу

Решение. Согласно формуле (п.5.,С.3., Т.7.) , имеем

т.е.В частности, еслито.

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь прямоугольника,

заштрихованного на рис. 30.

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся все с.в. о которых известно, что все их значения лежать внутри некоторого интервала, и все они имеют одинаковую вероятность (плотность). К примеру, ошибка округления любого числа до целого, равномерно распределена на отрезке , поскольку для любого вещественного числа достоверно равенство, где [u] -обозначает целую часть, а - дробную часть этого числа, событиеявляется достоверным событием с плотностью, и все значенияпринадлежать отрезке. Другим типичным примером, равномерного распределения является время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определённым интервалом времени, и т.д.

Дискретная случайная величина имеет равномерное распределение, если она принимает свои значения с вероятностьюВ этом случае. Для. На рис. 31 представлен многоугольник распределения этого примера.

Рис. 31.