7. Функция надёжности, показательный закон надёжности

В настоящем пункте условимся называть элементом некоторое устройство независимо оттого, что оно «простое» или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени, а по истечении времени длительностьюпроисходит отказ. Обозначим через- непрерывную случайную величину «длительность времени безотказной работы элемента за время». Если элемент проработал безотказно некоторое время (скажем), меньшее чем, а затем перестал работать, тогда обязательно за время длительностьюнаступит отказ работы элемента.

Таким образом, функция распределения определяет вероятность отказа за время длительностьюСледовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью, (т.е. вероятностью противоположного событияравна

(25) .

Функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью , называют функцией надёжности:

Далее, определим так называемый показательный закон надёжности. Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого (см. равенство 1. п. 6., теорема 6) равна

(26) ,

где интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов за единицу времени.

Следовательно, в силу формул (25) и (26) для функции надёжности в случае показательного распределения вероятность безотказной работы элемента за время длительностью получим равенство

.

Показательным законом надёжности называют функцию надёжности, определённую равенством

(27) .

Как следует из формулы (27), если время безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью .

Пример 10. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону

.

Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

Решение. По условию постоянная интенсивность отказов Воспользуемся равенством (27), тогда

Искомая вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч., приближённо равна Далее, также следует отметить о том, что функция надёжности связана с простейшим потоком события (см. Т. 6., п.3.), где в распределении Пуассона, при

Полученное равенство ещё раз подтверждает следующего факта: если отказы элементов в случайные моменты времени образуют«простейший поток», то вероятность того, что за время длительностьюне наступит ни одного отказа.

Наконец, отметим, что имеет место и другое важное равенство плотность показательного распределения.

8. Характеристическое свойство показательного

закона надёжности

Показательный закон надёжности весьма прост и удобен для решения практических задач. Как правило. многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Это объясняется тем, что данный закон является единственный из законов распределения, который обладает свойством «отсутствия последействия». А именно имеет место утверждение.

Теорема 9.7. Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы элемента до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени(при заданной интенсивности отказов).

Доказательство. Введём обозначения событий: - безотказная работа элемента на интерваледлительностью;- безотказная работа элемента на интерваледлительностью. Тогдабезотказная работа элемента на интерваледлительностьюНайдём вероятности этих событий по формуле (25):

(28) .

Далее, вычислим условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале при условии, что он уже проработал безотказно на предществующем интервале. Применяя, теорему умножения вероятностей получим

Как видим, полученная формула не содержит , а содержит только. Это и означает, что время работы элемента на предшествующем интервале не повлияет на величине вероятности безотказной работы элемента на последующем интервале, а зависит только от длины этого интервала, что и требовалась доказать.

Сравнив вероятности, полученные в формуле (28) заключаем: условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Замечание. Можно доказать, что рассматриваемым свойством обладает только показательное распределение. Таким образом, если на практике исследуемая с.в. этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону.

Например, при допущении факта, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, то вероятность столкновения их с космическим кораблём не зависит от того, попадали или не попадали они в корабль до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, случайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону.

Упражнение. Определить множество точек, для которых функция

является функцией плотности показательного закона, если ицелые числа. Найти это множество точек на плоскости.