- •Глава II
- •2. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •3. Законы распределения дискретной случайной
- •4. Функция распределения случайной величины, функция
- •5. Производящая функция дискретной случайной величины
- •6. Плотность распределения вероятностей
- •Тема 8. Числовые характеристики
- •1. Математическое ожидание случайной величины
- •2. Дисперсия случайной величины
- •3. Среднее квадратичное отклонение
- •4. Среднее квадратичное отклонение суммы
- •5. Одинаково распределённые взаимно
- •6. Мода и медиана, моменты случайных величин
- •7. Асимметрия и эксцесс, квантили
- •8. Производящая функция
- •Тема 9. Основные законы распределения
- •1. Биномиальный закон распределения (Закон Бернулли)
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределения
- •5. Равномерный закон распределения
- •2. .
- •6. Показательный закон распределения
- •7. Функция надёжности, показательный закон надёжности
- •8. Характеристическое свойство показательного
- •9. Нормальный закон распределения
- •Тема 10. Предельные теоремы теории вероятностей
- •1. Неравенство Чебышева и Маркова
- •2. Теорема Чебышева (збч Чебышева)
- •3. Ещё раз о теореме Бернулли
- •4. Центральная предельная теорема
- •0,04, Т.Е..
- •5. Применение цпт
- •6. Примеры на применение нормального закона
3. Ещё раз о теореме Бернулли
В этом пункте ещё раз будем рассматривать ЗБЧ Бернулли. Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой формой закона больших чисел. Она обосновывает теоретически возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты, т.е. обосновывает свойство устойчивости относительной частоты (которая приводит к статистическому определению вероятностей).
В Т.6 пункте 7, мы рассматривали ЗБЧ Бернулли в качестве применения интегральной теоремы Муавра – Лапласа. Здесь её выводим на основании теоремы Чебышева.
Напомним, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления событияравна,а относительная частота в каждой серии испытания равна
Рассмотрим задачу:в условиях испытания по схеме Бернулли и при достаточно большом числе независимых испытаний найти вероятность отклонение относительной частоты от истинной вероятностипоявления событияпо абсолютной величине не превышает заданного числаДругими словами, найти вероятность:
Здесь, для решения этой задачи будем применять неравенство Чебышева.
Рассматривается независимые д.с.в.каждый из них обладают свойством:если вм номере испытании появилось событиеа если вм испытании не появляется событие, тогда,т.е.является индикатором испытания на предмет появление или не появление события.
Тогда (число успехов) событияпредставиться в виде
Составим закон распределения каждой независимой случайной величины и затем найдём математическое ожидание и дисперсию наступления событиеА.
1 |
0 | |
P |
|
|
Контроль
Вычислим математическое ожидание и дисперсию с. в. при любом
Неравенство Чебышева (12) для случайных величин , число успехов которых
принимает вид:
(21) ,
где также отметим, что
Случайные величины независимы, их дисперсия ограничены одним и тем же числом 0,25, так как
Поэтому к этим с.в. можно применить теорему Чебышева 10.4. Также будем воспользоваться легко выводимыми равенствами
Следовательно, справедливо ЗБЧ в форме Бернулли
(22) .
Итак, ЗБЧ Бернулли утверждает, что при «относительная частота» сходится по вероятности к истинной вероятности события, т.е. числуКоротко теорему (ЗБЧ) Бернулли записывают в виде:
Теорема 10.6. Справедлива следующая эквивалентность
Как видим, теорема Бернулли объясняет, причину того что, почему относительная частота при достаточно большом количестве испытаний обладает свойством устойчивости и тем самым оправдывает статистическое определение вероятности.
Пример 4. Вероятность наличия опечатки на одной странице рукописи равна 0,2. Найти вероятность того, что в рукописи, содержащей 400 страниц, частость появления опечатки отличается от соответствующей вероятности по модулю меньше, чем 0,05.
Решение.Воспользуемся равенством (21). В нашем примере
Имеем
т.е.