3. Геометрическое распределение

Ранее мы рассматривали таблицу геометрического закона случайного события. Напомним, что мы рассматривали следующий опыт: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность наступления события равнаи, следовательно, вероятность его не наступления равна. Испытания завершается, как только появится первый раз событие. Таким образом, если событиепоявиться вм испытании, то оно в предшествующихиспытаниях не появилось.

Пусть дискретная случайная величина, число испытаний, которое нужно провести до первого появления события . Из контекста следует, что возможными значениями являются натуральные числа: . Предположим, что в первыхиспытаниях событие

не наступило, а в м испытании наступило. Вероятность этого «сложного события» по теореме умножения вероятностей независимых событий, определяется равенством

(15) .

Полагая в равенстве (5) получаем последовательность чисел, образующую убывающую геометрическую прогрессию с начальным членоми знаменателем.

(16)

Именно, по этой причине в формула (15), называется геометрическим законом.

Примерами реальных случайных величин, распределенных по геометрическомузакону, являются: число выстрелов до первого попадания, число испытаний прибора до первого отказа, число бросаний монеты до первого выпадения «орла», и т.д.

Напомним, что таблица закона геометрического распределения имеет вид:

	1	2	...		...
			...		...

Очевидно, что числовая последовательность (16) как числовой ряд сходится и сумма его равна единице:

Контроль-, ( т.к.).

Теорема 9. 3. Для производящей функции и вычисления числовых характеристик случайных величин распределённых по закону геометрического распределения, справедливы следующие формулы:

(17)

_{Доказательство. Вычислим производящей функцию и её первые и вторые производных с учётом равенства (17) имеем}

Первая формула получена. Найдем производные функции

Следовательно, с учётом , соответственно получим

Утверждение доказано.

Пример 5.Из орудия проводится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания расчёта в цель равна 0,1.

1. Найти вероятность того, что цель будет поражена при третьем выстреле.

2. Найти числовые характеристики с.в. числа выстрелов по цели до первго попадания.

Решение.

1. Мы имеем дело с геометрическим распределением и её вероятность равна

.

2. По теореме3 имеем (здесь

Следует кратко напомнить ещё об одном распределение дискретных случайных величин.

4. Гипергеометрическое распределения

Говорят, что дискретная с.в. имеетгипергеометрическое распределение, если она принимает значения с вероятностями (сравни с равенством (11),

Т.6),

(18)

где натуральные числа.

Гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами Еслимало по сравнению с(практически). Он приближается к биномиальному распределению с параметрамиит.е.

.

Здесь приведём (без доказательства) вычислительные формулы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения (стандарта). Имеет место утверждение.

Теорема 9. 4. Для вычисления числовых характеристик случайных величин распределённых по закону uгиппергеометрического распределения, справедливы следующие формулы:

(19)

Пример 6. В группе из 21 студентов 5 девушек. Из этой группы наудачу отбирается 3 студента.

1. Составить закон распределения д.с.в.числа девушек из отобранных студентов.

2. Найти

Решение. Случайная величина принимает значения Вероятности этих величин

находим по формуле (10): в нашем случае

Построим таблицу распределения.

X	0	1	2	3
	0,4211	0,4511	0,1203	0,0075

Контроль-

Найдем значение м.о. двуья способами: согласно определению и по формуле (11).

а)

б)

Задание.Вычислить на основании формул (19) величины дисперсии и стандарта данного распределения.

Далее, перейдём к рассмотрению законов распределения непрерывных случайных величин

Ниже рассмотрим часто используемые законы н.с.в.