- •Вища математика
- •Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”
- •Харків 2009
- •Передмова
- •§1. Елементи лінійної алгебри Завдання 1. В задачах варіантів 125 обчислити визначник четвертого порядку
- •Завдання 2.
- •Розв’язання типового варіанта.
- •Якщо матриця а є невиродженою, то
- •§2. Елементи векторної алгебри Завдання 3.
- •Розв’язання типового варіанта.
- •§3. Аналітична геометрія
- •Розв’язання типового варіанта
- •4. Дано координати точок: а (–1; 4; 2); в(0; 3; 3); с(4; –5; 3) і м(1; –3; 5).
- •§4. Вступ до математичного аналізу
- •Розв’язання типового варіанта.
- •2.Знайти границі:
- •3. Знайти границю
- •§5. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •Розв’язання типового варіанта
- •1.Знайти похідні функцій:
- •§6. Функції багатьох змінних
- •§7. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Розв’язання типового варіанта
- •§8. Диференціальні рівняння
- •Розв’язання типового варіанта.
- •Дане рівняння приймає вигляд
- •Відповідне однорідне рівняння
- •Підставляючи , ,в дане рівняння, маємо
- •Розв’язуючи систему, знаходимо
- •§9. Ряди
- •Розв’язання типового варіанта
- •§10. Теорія ймовірностей та математичної статистики
- •Вихідні дані до задач
- •Список літератури
- •Вища математика
- •Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”
- •Харківський державний університет харчування та торгівлі.
Відповідне однорідне рівняння
має характеристичне рівняння , корені якого дійсні і рівні, тобто. Загальний розв’язок цього рівняння
.
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
.
Послідовно диференціюючи , знаходимо та:
; .
Підставляючи , ,в дане рівняння, маємо
або .
Прирівнюючи коефіцієнти при іправої і лівої частин рівняння, отримаємо систему двох рівнянь відносно шуканих коефіцієнтівА і В.
Маємо:
Розв’язуючи систему, знаходимо
; .
Отже, .
Звідси загальний розв’язок даного рівняння
.
Щоб знайти частинний розв’язок, що задовольняє початковим умовам, попередньо знаходимо похідну
.
За умовою ;, тоді
, звідки ;
, звідки .
Підставляючи отримані значення довільних сталих ів загальний розв’язок, маємо
шуканий частинний розв’язок. ◄
§9. Ряди
Завдання 23. В задачах варіантів 125 дослідити на збіжність числові ряди.
1. . 2.. 3..
4. . 5.. 6..
7. . 8.. 9..
10. . 11.. 12..
13. . 14.. 15..
16. . 17.. 18..
19. . 20.. 21..
22. . 23.. 24..
25. .
Завдання 24. В задачах варіантів 125 дослідити на збіжність знакопереміжні ряди
1. . 2.. 3..
4. . 5.. 6..
7. . 8.. 9..
10. . 11.. 12..
13. . 14.. 15..
16. . 17.. 18..
19. . 20.. 21..
22. . 23.. 24..
25. .
Завдання 25.
В задачах варіантів 1 - 25 знайти інтервал збіжності степеневого ряду, при цьому з`ясувати питання про його збіжність на кінцях інтервалу.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
.7. . 8. . 9. .
10. . 11. . 12. .
13. . 14. . 15. .
16. . 17. . 18. .
19. . 20. . 21. .
22. . 23. . 24. .
25. .
Завдання 26.
В задачах варіантів 125 обчислити визначний інтеграл з точністю до 0,001 шляхом попереднього розкладання підінтегральної функції у степеневий ряд.
1. . 2.. 3..
4. . 5.. 6..
7. . 8.. 9..
10. . 11.. 12..
13. . 14.. 15..
16. . 17.. 18..
19. . 20.. 21..
22. . 23.. 24..
25. .
Завдання 27.
В задачах варіантів 125 обчислити наближене значення заданої величини з точністю до 0,0001, використовуючи відомі розклади відповідних функцій в ряд Маклорена.
1. . 2.. 3.. 4..
5. . 6.. 7.. 8..
9. . 10.. 11.. 12..
13. . 14.. 15.. 16..
17. . 18.. 19.. 20..
21. . 22.. 23.. 24..
25. .
Розв’язання типового варіанта
1. Знайти область збіжності степеневого ряду
► Даний степеневий ряд можна записати так:
(11.20)
Застосуємо ознаку Даламбера:
.
Як видно, ряд буде збігатись для тих значень х, для яких
<1, або.
Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу.
При x=, маємо числовий ряд:
. (11.21)
Ряд (11.21) є знакопереміжним. У силу ознаки Лейбніца даний ряд збігається, бо
1) >>>>…2).
При x=маємо числовий ряд
... . (11.22)
Ряд (11.22) розбігається (для цього достатньо порівняти його з гармонічним рядом .
Отже, значення x = не належить області збіжності даного ряду.
Таким чином, область збіжності досліджуваного ряду.
2. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001.
► Обчислимо даний інтеграл наближено за допомогою рядів. Відомо, що
.
Тоді
;
.
Маємо
.
Отримано знакопереміжний числовий ряд, який задовольняє умовам теореми Лейбниця. Оскільки четвертий член цього ряду за абсолютним значенням менше ніж 0,001, достатньо обмежитись сумою перших трьох членів. Отже
. ◄
3. Обчислити наближено з точністю до 0,0001.
► Скористаємось формулою
;
який є збіжним при .
Запишемо заданий вираз у вигляді
.
Для функції маємо наступний розклад
Підставляючи замість х число , отримає числовий ряд
Маємо знакопереміжний числовий ряд. Щоб обчислити значення функції з точністю 0,0001, необхідно, щоб перший член, що відкидається, був менш, ніж 0,0001. Неважко обчислити, що
.
Отже, .