- •Вища математика
- •Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”
- •Харків 2009
- •Передмова
- •§1. Елементи лінійної алгебри Завдання 1. В задачах варіантів 125 обчислити визначник четвертого порядку
- •Завдання 2.
- •Розв’язання типового варіанта.
- •Якщо матриця а є невиродженою, то
- •§2. Елементи векторної алгебри Завдання 3.
- •Розв’язання типового варіанта.
- •§3. Аналітична геометрія
- •Розв’язання типового варіанта
- •4. Дано координати точок: а (–1; 4; 2); в(0; 3; 3); с(4; –5; 3) і м(1; –3; 5).
- •§4. Вступ до математичного аналізу
- •Розв’язання типового варіанта.
- •2.Знайти границі:
- •3. Знайти границю
- •§5. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •Розв’язання типового варіанта
- •1.Знайти похідні функцій:
- •§6. Функції багатьох змінних
- •§7. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Розв’язання типового варіанта
- •§8. Диференціальні рівняння
- •Розв’язання типового варіанта.
- •Дане рівняння приймає вигляд
- •Відповідне однорідне рівняння
- •Підставляючи , ,в дане рівняння, маємо
- •Розв’язуючи систему, знаходимо
- •§9. Ряди
- •Розв’язання типового варіанта
- •§10. Теорія ймовірностей та математичної статистики
- •Вихідні дані до задач
- •Список літератури
- •Вища математика
- •Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”
- •Харківський державний університет харчування та торгівлі.
§6. Функції багатьох змінних
Завдання 14.
В задачах варіантів 1 - 25 знайти частинні похідні та повний диференціал функції z = z(x, y).
1. . 2..
3. . 4..
5. .6.
7. .8..
9. .10..
11. .12..
13..14..
15. .16..
17. . 18..
19. .20..
21. . 22..
23. . 24..
25. .
Завдання 15. В задачах варіантів 125 обчислити за допомогою повного диференціала наближене значення заданої величини.
1. . 2.. 3..
4. . 5.. 6..
7. . 8.. 9..
10. . 11.. 12..
13. . 14.. 15..
16. . 17.. 18..
19. . 20.. 21..
22. . 23.. 24..
25. .
Завдання 16. В задачах варіантів 125 задану функцію дослідити на екстремум.
1. . 2..
3. . 4..
5. . 6..
7. . 8..
9. . 10..
11. . 12..
13. . 14..
15. . 16..
17. . 18..
19. . 20..
21. . 22..
23. . 24..
25. .
Розв’язання типового варіанта.
1. Знайти частинні похідні та повний диференціал функції
z = arctg.
► Частинна похідна функції z = z(x,y) по x визначається за правилами диференціювання функції однієї змінної, причому інші змінні вважаються постійними; аналогічно визначається частинна похідна по у, де всі змінні, крім у, вважаються постійними.
Отже,
Повний диференціал даної функції визначається за формулою
.
Отже, маємо:
.◄
2.За допомогою повного диференціала обчислити наближено .
► Розглянемо функцію і застосуємо формулу
,
Поклавши ,,;.
Врахуємо, що ; ;
; ; .
Отже, . ◄
3. Дослідити на екстремум функцію .
► Знаходимо частинні похідні першого порядку функції
; .
Для визначення стаціонарних точок згідно з необхідними умовами екстремуму, прирівнюємо до нуля ці похідні. Маємо таку систему рівнянь:
розв’язок якої ,.
Отже, дана функція має тільки одну стаціонарну точку .
Для перевірки достатніх умов екстремуму знаходимо частинні похідні другого порядку
; ;.
Як видно, частинні похідні другого порядку мають постійні значення в будь-якій точці, зокрема в точці .
Обчислимо для точки, де;;.
.
Тому що та, то в точцізадана функція має максимум.
.◄
§7. Інтегральне числення функції однієї змінної
Завдання 17.
В задачах варіантів 1 - 25 знайти невизначені інтеграли . Результати інтегрування перевірити диференціюванням.
1. а); б); в);
г); д) ;е) ;
ж) ;з) .
2. а);б); в); г); д) ;е) ;
ж) ;з) .
3. а); б); в);г) ; д) ;е) ;
ж) ;з) .
4. а); б); в);г).
д) ;е) ;ж) ;
з) .
5. а); б); в);г); д) ;е) ;ж) ;
з) .
6. а); б); в);
г); д) ;е) ;
ж) ;з) .
7. а); б);в);г).
д) ;е) ;ж) ;з) .
8. а);б); в);г) .
д) ;е) ж) ;з) .
9. а);б); в);
г); д) ;е) ;
ж) ;з) .
10. а); б);в);
г); д) ;е );
ж) ;з) .
11. а);б);в);
г); д) ;е) ;
ж) ;з) .
12. а); б);в); г).
д) ;е) ;ж) ;з) .
13. а); б);в); г).
д) ;е) ;ж) ;з) .
14. а); б);в); г).
д) ;е) ;ж) ;з) .
15. а); б);в)г).
д) ;е) ;ж) ;з) .
16. а);б); в); г);
д) ;е) ;ж) ;з)
17. а);б); в) ;
г); д) ;е) ;ж) ;
з) .
18. а); б); в);г);
д) ;е) ;ж) ;
з) .
19. а); б); в); г).
д) ;е) ;ж) ;з) .
20. а);б); в); г); д) ;е) ;
ж) ;з)
21. а); б); в);г);
д) ;е) ;ж) ;з) .
22. а); б); в); г);
д) ;е) ;ж) ;з) .
23. а); б); в);
г); д) ;е) ;
ж) ;з) .
24. а); б); в); г);
д) ;е) ;ж) ;з) .
25. а);б); в); г).
д) ;е) ;ж) ;з) .
Завдання 18.
В задачах варіантів 1 - 25 обчислити визначені інтеграли.
1. . 2.. 3..4..
5. . 6.. 7..8..
9. . 10..11..12..
13. .14.. 15..16..
17. .18.. 19.. 20..
21. .22.. 23..24..
25. .
Завдання 19.
В задачах варіантів 1-25 обчислити площу фігури, яка утворюється вказаними лініями. Накреслити ці лінії, вказати фігури, які вони утворюють.
1. y=3x2 + 1; у=3х + 7.
2. y= 3 - 2x - x2; у= -2х – 1.
3. y=1/2x2 - 2x + 2; у= х/2 + 4.
4. y=1/4x2 - 2x + 4; у= х/2.
5. y= 1/3x2-2x + 3; у= х/3 + 1.
6. y=2x - x2; у= х – 3.
7. y= - x2 + 4x - 1; у= - х – 1.
8. y= x2 - 3x; у= -3х + 4.
9. y= x2 - 6x+ 7; у= х + 1.
10. y= x2 - 6x + 10; у= х.
11. y= - x2 + 6x - 5; у= х – 5.
12. y= x2+2; у= х + 5.
13. y= x2 - 6x + 7; у = - х +7.
14. y= 1/9x2; у= 1/3х + 2.
15. y= - x2 + 6x - 5; у= - х + 1.
16. y= x2 + 2x; у= - х + 4.
17. y=x2 + 6x + 7; у= х + 7.
18. y= 1/2 x2; у= - х + 4.
19. y= - x2 - 6x - 5; у= х + 1.
20. y= x2 + 4x; у= х +4.
21. y= x2 + 6x + 7; у= -х + 1.
22. y=x2; у= -х + 6.
23. y= - x2 - 6x - 5; у= -х – 5.
24. y= 3x2+ 1; у= 3х + 7.
25. y= x2 - 4x + 1; у= х + 1.
Завдання 20.
В задачах варіантів 1-25 обчислити об’єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями
1. ;;.
2. ;;.
3. ;;.
4. ;.
5. ;;.
6. ;;.
7. ;;.
8. ;;.
9. ;;.
10. ;;.
11. ;;;.
12. ;;.
13. ;;.
14. ;;.
15. ;;.
16. ;;.
17. ;;.
18. ;;.
19. ;;.
20. ;;.
21. ;;.
22. ;;.
23. ;;.
24. ;;.
25. ;;.