- •Вища математика
- •Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”
- •Харків 2009
- •Передмова
- •§1. Елементи лінійної алгебри Завдання 1. В задачах варіантів 125 обчислити визначник четвертого порядку
- •Завдання 2.
- •Розв’язання типового варіанта.
- •Якщо матриця а є невиродженою, то
- •§2. Елементи векторної алгебри Завдання 3.
- •Розв’язання типового варіанта.
- •§3. Аналітична геометрія
- •Розв’язання типового варіанта
- •4. Дано координати точок: а (–1; 4; 2); в(0; 3; 3); с(4; –5; 3) і м(1; –3; 5).
- •§4. Вступ до математичного аналізу
- •Розв’язання типового варіанта.
- •2.Знайти границі:
- •3. Знайти границю
- •§5. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •Розв’язання типового варіанта
- •1.Знайти похідні функцій:
- •§6. Функції багатьох змінних
- •§7. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Розв’язання типового варіанта
- •§8. Диференціальні рівняння
- •Розв’язання типового варіанта.
- •Дане рівняння приймає вигляд
- •Відповідне однорідне рівняння
- •Підставляючи , ,в дане рівняння, маємо
- •Розв’язуючи систему, знаходимо
- •§9. Ряди
- •Розв’язання типового варіанта
- •§10. Теорія ймовірностей та математичної статистики
- •Вихідні дані до задач
- •Список літератури
- •Вища математика
- •Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”
- •Харківський державний університет харчування та торгівлі.
Розв’язання типового варіанта.
1. Нехай А(– 4; – І; 2); В(І; 0; 2); С(– І; 4; 6); D(– 2; – 3; 8) – точки координати вершин піраміди АВСD. Необхідно: І) записати розкладання векторів ,,, за базисом,,і знайти довжини цих векторів; 2) знайти кут між векторамиі; 3) знайти проекцію векторана вектор; 4) знайти площу граніАВС; 5) Знайти об’єм піраміди АВСD.
►1)Відомо, що довільний вектор може бути розкладений за базисом,, таким чином:
де ах, ау, аz – проекції вектора на координатні осі;, ,– одиничні вектори, напрямки яких збігаються з додатними напрямками осейOX,OY,OZ.
Нехай маємо точки M1(x1, y1, z1) i M2(x2, y2, z2) , тоді проекції вектора =на координатні вісі дорівнють:
ax = x2 – x1; ay = y2 – y1; az = z2 – z1
і вектор має вигляд
= (.
Отже, маємо
=
=
= .
Довжину вектора знаходимо за формулою
=
Маємо
==,
==6,
==.
2) Косинус кута між векторами
=і
визначимо за формулою
cos =,
де – скалярний добуток векторіві.
Отже,
cos =.
Таким чином, шуканий кут дорівнює
.
3) Проекція вектора на векторвизначається за формулою:
=
4) Площа грані АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і. Відомо, що модуль векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах. Векторний добуток векторівівизначається за формулою:
=.
Позначимо векторний добуток ×через вектор. Тоді площа граніАВС дорівнює половині модуля вектора , тобто
SABC=.
=×=або
Отже,
SABC=(кв.од.).
5) Об’єм паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах , дорівнює модулю їх мішаного добутку:
=.
Отже, мішаний добуток векторів ,,:
.
Шуканий об’єм V піраміди АВСD дорівнює одній шостій об’єму паралелепіпеда, тобто:
V=(куб.од.).◄
§3. Аналітична геометрія
Завдання 4.
В задачах варіантів 1– 25 дани координати вершин трикутника АВС. Потрібно знайти: 1) рівняння сторін АВ і АС та їх кутові коефі-цієнти; 2) рівняння медіан, провдених з вершин А і В та точку їх перетинання; 3) кут А в радіанах з точністю до двох знаків; 4) рівняння висоти СТ, яка проведена з вершини С; 5) побудувати трикутник АВС, медіани, висоту в системі координат .
1. А (– 4, 2); В (4, – 4); С (6, 5).
2. А (–2, 1); В (6, –5); С ( 8, 4).
3. А (–3, –3); В (5, –9); С (7, 0).
4. А (2, 2); В (10, –4); С (12, 5).
5. А (4, –1); В (12, –7); С (14, 2).
6. А (–6, –2); В (2, –8); С (4, 1).
7, А (–8, –4); В (0, –10); С (2, –1).
8. А (–5, 5); В ( 3, –1); С (5, 8).
9. А (6, 2); В (14, –4); С (16, 5).
10. А (–4, –1); В (4, –7); С (6, 2).
11. А (–3, 0); В (5, –6); С ( 7, 3).
12. А (0, 5); В (8, –1); С (10, 8).
13. А (2, 6); В (10, 0); С (12, 9).
14. А (5, 3); В (13, –3); С (15, 6).
15. А (–10, 5); В (–2, –1); С (0, 8).
16. А (5, 5); В (13, –1); С (15, 8).
17. А (4, 6); В (12,0); С (14, 9).
18. А (1, 6); В (9, 0); С (11, 9).
19. А (–5, –1); В (3, –7); С (5, 2).
20. А (0, 1); В ( 8, –5); С (10, 4).
21. А (3, –1); В (11, –7); С (13, 2).
22. А (2, 6); В (10, 0); С (12, 9).
23. А (6, 7); В (14, 1); С (16, 10).
24. А (3, 0); В (11, –6); С (13, 3).
25. А (4, 4); В (12, –2); С (14, 7).
Завдання 5.
В задачах варіантів 1–25даникоординати точок А(х1, у1), В(х2, у2) та радіус колаR, центр якого знаходиться в початку координат. Необхідно: а) скласти канонічне рівняння еліпса з центром симетрії в точці О (0,0), який проходить через точки А і В; б) знайти півосі, фокуси та ексцентрисітет цього еліпса:в) знайти усі точки перетину еліпса та заданого кола; г) побудувати в системі координат хОу еліпс та коло.
1. А(8 , -3), |
В(4 , ), |
R =. |
2. А(,-4), |
В(3 ,), |
R =. |
3. А(, 2), |
В(-1, ), |
R =. |
4. А(1, -), |
В(, 2), |
R =. |
5. А(-4, ), |
В(, 2), |
R =. |
6. А(3, ), |
В(, -2), |
R =, |
7. А(2, ), |
В(, 1), |
R =. |
8. А(4, ), |
В(,), |
R =. |
9. А(,), |
В(, 4), |
R =. |
10. А(,), |
В(, -1), |
R =. |
11. А(2 , ), |
В(,), |
R =. |
12. А(,), |
В(3 ,), |
R =. |
13. ;; .
14. ;; .
15. ;; .
16. ;; .
17. ;; .
18. ;; .
19. ;; .
20. ;; .
21. ;; .
22. ;; .
23. ;; .
24. ;; .
25. ;; .
Завдання 6.
В задачах варіантів 1 – 25 дани координати точок А(х1, у1), В(х2,у2) та радіус кола R, центр якого знаходиться в точці О(0,0). Потрібно: а) скласти канонічне рівняння гіперболи з центром симетрії в точці О(0, 0), яка проходить через точки А і В, якщо фокуси гіперболи розташовані на осі абсцис; б) знайти півосі, фокуси, ексцентрисітет та рівняння асимптот цієї гіперболи; в) знайти усі точки перетину гіперболи та кола; г) побудувати в системі координат хОу гіперболу, її асімптоти та коло.
1. А(6,); |
В(, 3); |
R =. |
2. А(,–1); |
В(–4, ); |
R =. |
3. А(10, 5); |
В(–8, ); |
R =. |
4. А(16,); |
В(,–4); |
R =12. |
5. А(,-1) |
В(4, 2); |
R =. |
6. А(,-2) |
В(,); |
R =. |
7. А(,-10); |
В(–8, ); |
R =. |
8. А(,-8); |
В(,4); |
R =. |
9. А(,-4); |
В(3, ); |
R =10. |
10. А(–6, ); |
В(, 6); |
R =. |
11. А(,3);В(4,);R =.
12. А(, 2); |
В(, ); |
R = 4. |
13. А(, 3); |
В(,); |
R = 6. |
14. ;; .
15. ;; .
16. ;; .
17. ;; .
18. ;; .
19. ;; .
20. ;; .
21. ;; .
22. ;; .
23. ;; .
24. ;; .
25. ;; .
Завдання 7.
В задачах варіантів 125 задано координати точки і рівняння прямої. Написати рівняння лінії, кожна точка якої знаходиться на однаковій відстані від точкита від заданої прямої. Отримане рівняння привести до простішого вигляду.
1. ;. 2.;.
3. ;. 4.;.
5. ;. 6.;.
7. ;. 8.;.
9. ;. 10.;.
11. ;. 12.;.
13. ;. 14.;.
15. ;. 16.;.
17. ;. 18.;.
19. ;. 20.;.
21. ;. 22.;.
23. ;. 24.;.
25. ;.
Завдання 8.
В задачах варіантів 1–25 дани координати точок А, В, С, М. Потрібно знайти: 1) рівняння площини Q, яка проходить через точки А, В, С; 2) канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М, перпендикулярно до площини Q; 3) координати точок перетину одержаної прямої з площиною Q та з координатними площинами , , .
1. A ( 4, –7, 1); B ( 3, –5, 1); C ( 2, 0, 4); M (–2, –4, 4).
2. А (–5, 3, –7); В ( 1, 1, 3); С (–1, 4, 2); М ( 3, 3, 3).
3. А ( 2, –1, 3); В (–1, 2, 0); С (1, –4, –2); М (1, 2, –2).
4. А (–3, 4, –2); В (1, –3, –1); С (–1, –2, –4); М (3, 2, –4).
5. А (1, 2, 4); В (–5, 3, 7); С (4, –2, 6); М(–2, –3, –1).
6. А (–2, 1, –3); В (–4, 2, –6); С (3, –5, 1); М(6, 5, –7).
7. А (–1, 4, 2); В (3, –2, 4); С (5, –3, 7); М (–2, –5, 3).
8. А (–3, 1, 2); В (0, –1, 4); С (1, –3, 7); М (–1, –5, 7).
9. А (2, 5, 0); В (1, –3, 2); С( 0, 2, 1); М (2, 3, 5).
10. А (1, 6, 4); В (2, 5, 5); С (6, –3, 5); М (3, –1, 7).
11. А (4, 1, 5); В (1, 4, 2); С (3, –2, 0); М ( 3, 4, 0).
12. А (–2, 5, –1); В (2, –2, 0); С (0, –1, –3); М (4, 3, –3).
13. А (2, 3, 5); В (–4, 4, –6); С (5, –1, 7); М (–1, –2, 0).
14. А (–4, 3, –7); В ( 2, 1, 3); С (0, 4, 2); М (4, 3, 3).
15. А (2, 3, 5); В (3, –1, 3); С ( 2, –4, –2); М (–3, –1, 3).
16. А (0, 2, –4); В (2, –2, –4); С (7, –1, 7); М (–1, 2, 6).
17. А (1, -4, 0); В ( -1, 0, 1); С ( 2, 5, 5); М ( 5, 6, -5).
18. А (–1, 0, 2); В (2, 2, 3); С (–2, –3, –2); М ( 4, –1, 1).
19. А (1, –2, –2); В (–1, 2, –1); С (2, 7, 3); М (5, 8, –7).
20. А (4, 2, 0); В ( 6, –2, –1); С (–3, 3, –3); М ( 3, 3, –3).
21. А (–3, 3, –4); В ( 2, 10, 2); С ( 4, 2, –1); М (–3, 1, 7).
22. А ( 0, 3, –7); В (6, 1, 3); С (4, 4, 2); М ( 8, 3, 3).
23. А ( 4, 0, 1); В (3, 2, 1); С (2, 7, 4); М (–2, 3, 4).
24. А (1, 3, 1); В (7, –5, 5); С (–1, 5, –1); М (10, –2, 2).
25. А ( 2, 2, –4); В (4, –2, –4); С (9, –1, 7); М (1, 2, 6).