Розв’язання типового варіанта
1. Знайти невизначені інтеграли
а)
;б)
в)
.
►а) Застосуємо метод підстановки. Нехай t =cos4x, тоді dt=-4sinxdx. Замінивши підінтегральний вираз, маємо
.
Повертаючись до старої змінної, маємо
.
б) Застосуємо метод інтегрування частинами
(11.15)
Нехай
U = arctgx, dV=2xdx.
Тоді
dU=
;V=
.
Використовуючи формулу (11.15), маємо
-
.
в) Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом. Вилучивши цілу частину,тобто поділивши чисельник цього дробу на знаменник, маємо:
Отже,
.
Подамо правильний раціональний дріб у вигляді суми найпро-стіших раціональних дробів.
.
Порівняння чисельників дає
13x-3=A(x+3)+B(x-4).
Звідси при x = 3 маємо 39 3 = 7B; 7B = 42, B = 6;
при х = 4 маємо 52 3 = 7А, 7А = 49, А = 7.
Отже,
.
Таким чином, отримаємо:
=
.◄
2. Обчислити визначений інтеграл
.
► Застосуємо метод заміни
змінної. Нехай
,
тоді
3 + lnx =
t2
,
Визначимо межі інтегрування для змінної t.
Якщо x=
1, то t =
нижня межа
Якщо x =
е, то
t =
верхня
межа.
Таким чином,
◄
3. Обчислити площу фігури, що обмежена параболою y = x2 3x та прямою y = 4 3x.
Рис. 6.
► Площа фігури, обмеженої згори графіком функції y = f(x), знизу – графіком функції y = g(x), зліва та справа, відповідно, прямими x = а, x = b, визначається формулою:
dx.
(11.16)
Визначимо точки перетину параболи та прямої, розв’язавши для цього систему рівнянь
Враховуючи, що у формулі (11.16) f(x) = 4 3x, g(x) = x2 3x; a = 2; b = 2, маємо наступний вираз для визначення площі:
S=
.
Під знаком визначеного інтеграла парна функція. Користуючись формулою
маємо
(кв.од.).◄
§8. Диференціальні рівняння
Завдання 21.
В задачах варіантів 1 - 25 знайти загальні розв`язки диференціальних рівнянь.
1. а) 
; б)
2. а)
;б)
;
3. а)
; б)
4.а)
б)
;
5. а)
; б)
6. а)
б) 
;
7. а)
б) 
8. а)
б)
;
9. а) 
;б)
10. а)
б) 
;
11. а) 
;б)
12. а)
б)
;
13. а) 
; б)
14. а)
б)
;
15. а) 
;б)
16. а)
б)
;
17. а) 
;б)
18. а)
б)
;
19. а) 
;б)
20. а) 
;б)
21. а) 
;б)
22. а) 
; б)
23. а)
б)
;
24. а) 
;б)
25. а)
;
б) 
;
Завдання 22.
В задачах варіантів 1-25 знайти частинні розв`язки диференціальних рівнянь, які задовольняють початковим умовам.
1. а)
y-
y-2y=0, у(0)=4,
у′
(0)=0;
б)
;
;
.
в)
;
;
.
2. а)
y+2у′
+у=0,
у(0)=0,
у′ (0)=2;
. б)
;
;
.в)
;
;
.
3. а)
y+9у=0,
у(0)=-1,
у′ (0)=1;
б)
;
;
.в)
;
;
.
4. а)
y-3у′+2у=0,
у(0)=0,
у′(0)=1;
б)
;
;
.в)
;
;
.
5. а)
у′′-6y′+25у=0,
у(0)=1,
у′(0)=2;
б)
;
;
.
в)
;
;
.
6. а)
у′′-2у′+у=0, у(0)=0,
у′(0)=2;
б)
;
;
.
в)
;
;
.
7. а)
у′′+16у=0, у(0)=2,
у′(0)=7;
б)
;
;
.
в)
;
;
.
8. а)
у′′-у=0,
у(0)=0,
у′(0)=1;
б)
;
;
.
в)
;
;
.
9. а)
у′′-2у′+5у=0,
у(0)=3,
у′(0)=1;
б)
;
;
.
в)
;
;
.
10. а)
у′′-4у′+5у=0,
у(0)=
1,
у′(0)=0;
б)
;
;
.в)
;
;
.
11. а)
у′′-8у′+16у=0,
у(0)=
2, у′(0)=4;
б)
;
;
;в)
;
;
.
12. а)
у′′-2у′-3у=0,
у(0)=1,
у′(0)=0;
б)
;
;
.в)
;
;
.
13.
а)
у′′+3у′-4у=0,
у(0)=1,
у′(0)=0;
б)
;
;
.
в)
;
;
.
14. а)
у′′+4у′+13у=0,
у(0)=1,
у′(0)=1;
б)
;
;
;
в)
;
;
.
15. а)
у′′+6у′+10=0,
у(0)=1,
у′(0)=1;
б)
;
;
;
в)
;
;
.
16. а)
у′′+8у′+15у=0,
у(0)=1,
у′(0)=0;
б)
;
;
;
в)
;
;
.
17. а)
у′′+10у′+16у=0,
у(0)=1,
у′(0)=2;
б)
;
;
;
в)
;
;
.
18. а)
у′′-4у′-5у=0,
у(0)=0,
у′(0)=4;
б)
;
;
;
в)
;
;
.
19. а)
у′′-7у′+10у=0,
у(0)=1,
у′(0)=-2;
б)
;
;
;
в)
;
;
.
20.
а)
у′′-6у′+10у=0,
у(0)=
1, у′(0)=2;
б)
;
;
;в)
;
;
.
21. а)
у′′-9у′-0,
у(0)=1,
у′(0)=3;
б)
;
;
;
в)
;
;
.
22. а)
у′′-4у′+3у=0,
у(0)=1,
у′(0)=10;
б)
;
;
;в)
;
;
.
23. а)
у′′+4у′+29у=0,
у(0)=0,
у′(0)=15;
б)
;
;
;
в)
;
;
.
24. а)
4у′′+4у′+у=0,
у(0)=2,
у′(0)=0;
б)
;
;
,в)
;
;
.
25.
а)
у′′-
4у′=0, у(0)=1,
у′(0)=2;
б)
;
;
.в)
;
;
.