3.2. Силове потенціальне поле. Потенціал

Силове поле – це область простору, в якому на частинку діє якась сила Узагалі сила залежить від координат і часу Якщо сила не залежить від часу, то поле називається стаціонарним Якщо сили діють у напрямку якогось центру або в напрямку від нього поле називається центрально-симетричним. Як приклад, розглянемо гравітаційне поле Землі.

Ісаак Ньютон сформулював закон всесвітнього тяжіння, згідно з яким матеріальні точки(або сферичні тіла) притягуються одна до одної з силами, які пропорційні добутку їх масіі обернено пропорційні квадрату відстані між ними:

(3.5)

де визначена експериментально гравітаційна стала.

На будь-яке тіло, що розташоване поблизу Землі, за законом всесвітнього тяжіння діє сила тяжіння:

(3,6)

де маса Землі;радіус Землі;маса тіла;прискорення вільного падіння (напруженість гравітаційного поля Землі).

Прискорення вільного падіння на Земліне однакове. Відхилення від стандартної величини прискорення(на широті 45° і висоті рівня моря) g = 9,80665 м/с² обумовлено низкою причин:

Обертанням Землі. За рахунок дії доцентрової сили, прискорення вільного падіння тіла на полюсах вище, ніж на екваторі.

Не ідеальною формою Землі.

Висотою над рівнем моря.

Неоднорідністю Землі.

Сила тяжіння тіла, яке знаходиться на висоті над поверхнею Землі:

(3.7)

Підрахуємо роботу гравітаційної сили з переміщення маси з точки на відстані від центру Землі в точку на відстані :

(3.8)

Відомо, що робота виконується за рахунок зменшення енергії, тобто вираз являє собою потенціальну енергію гравітаційного поля. Вона зменшується при збільшенні відстані до центру Землі.

Таким чином (3.8), робота гравітаційної сили дорівнює зміні потенціальної енергії , взятій з оберненим знаком. З формули (3.8) випливає, що робота в гравітаційному полі не залежить від форми шляху, а робота по замкненому шляху дорівнює нулю. Сили, робота яких не залежить від форми шляху, називаються консервативними. Винесемо масу тіла за дужки:

(3.9)

де потенціал гравітаційного поля не залежить від маси

тіла, а залежить тільки від відстані між центрами мас Землі і тіла.

У диференціальній формі елементарна робота Функція повністю визначає силуза модулем і напрямом:

або (3.10)

Залежність сили і потенціальної енергії у векторній формі:

(3.11)

де одиничні вектори (орти) координатних осей.

Конкретний вигляд залежить від характеру силового поля. Так на невеликій висотіh над поверхнею Землі (« R) потенціальна енергія тіла дорівнює:

(3.12)

3.3. Графічне подання енергії

Графік залежності потенціальної енергії від зміщення (відстані) називається потенціальною кривою. Аналіз потенціальних кривих дозволяє визначити характер руху тіла. Графік потенціальної енергії тіла масою яке підняте на висотунад поверхнею Землі, показано на рис.3.1. Кут нахилу прямої, що проходить через початок координат, тим більший, чим більша маса тіла, оскільки Якщо повна енергія тіла дорівнює то на висоті тіло має потенціальну енергіюяка визначається відрізком вертикалі, який обмежений точкоюна осі абсцис і графіком

Графік залежності потенціальної енергії пружно-деформованого тіла від деформації має вигляд параболи (рис.3.2), де задана повна енергія визначається горизонтальною прямою, а значенняізадаються так само, як і на рис.3.1. Якщо кінетична енергія меншето тіло міститься в потенціальній ямі.

Рис.3.1 Рис.3.2

Експериментально доведено, що в механіці виконується закон збереження механічної енергії: у замкненій механічній системі тіл, між якими діють тільки консервативні сили (сили пружності та гравітації), загальна (кінетична і потенціальна енергія) зберігається, тобто не змінюється з часом. Математично закон записується так:

(3.13)