2. Обобщенный метод наименьших квадратов

При значимом наличии гетероскедастичности целесообразно вместо МНК использовать обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

При использовании обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК) корректируется модель, изменяются ее спецификации, преобразуются исходные данные для обеспечения несмещенности, эффективности и состоятельности оценок коэффициентов регрессии.

Предполагается, что среднее остатков равно нулю, но их дисперсия уже не является постоянной, а пропорциональна величинам Кi, где эти величины представляют собой коэффициенты пропорциональности, различные для различных значений фактора х. Таким образом, именно эти коэффициенты (величины Кi) характеризуют неоднородность дисперсии. Естественно, считается, что сама величина дисперсии, входящая общим множителем при этих коэффициентах пропорциональности, неизвестна.

Исходная модель после введения этих коэффициентов в уравнение множественной регрессии продолжает оставаться гетероскедастичной (точнее говоря, таковыми являются остаточные величины модели). Пусть эти остаточные величины (остатки) не являются автокоррелированными. Введем новые переменные, получающиеся делением исходных переменных модели, зафиксированных в результате i-наблюдения, на корень квадратный из коэффициентов пропорциональности Кi. Тогда получим новое уравнение в преобразованных переменных, в котором уже остатки будут гомоскедастичны. Сами новые переменные — это взвешенные старые (исходные) переменные.

Поэтому оценка параметров полученного таким образом нового уравнения с гомоскедастичными остатками будет сводиться к взвешенному МНК (по существу это и есть ОМНК). При использовании вместо самих переменных регрессии их отклонения от средних выражения для коэффициентов регрессии приобретают простой и стандартизованный (единообразный) вид, незначительно различающийся для МНК и ОМНК поправочным множителем 1/К в числителе и знаменателе дроби, дающей коэффициент регрессии.

3. Тесты гетероскедастичности

Необходимо иметь возможность проверять данные на гетероскедастичность. Довольно наглядным, правда нестрогим и требующим навыка способом проверки гомоскедастичности является графическое изучение характера зависимости остатков от среднего вычисленного (теоретического) результативного признака, или соответствующих полей корреляции. Более строгими являются аналитические методы исследования и оценки гетероскедастичности. Этой цели служат приводимые ниже тесты. В них проверяется основная гипотеза о равенстве дисперсий остатков против альтернативной гипотезы (о неравенстве этих гипотез). Кроме того, имеются априорные структурные ограничения по поводу характера гетероскедастичности.

В тесте Голдфелда — Куандта, как правило, используется предположение о прямой зависимости дисперсии ошибки (остатка) от величины некоторой независимой переменной. Схема применения этого теста такова. Сначала данные упорядочиваются по убыванию той независимой переменной, относительно которой имеется подозрение на гетероскедастичность. Затем в этом упорядоченном наборе данных исключают несколько средних наблюдений, где несколько означает примерно четверть (25%) от общего количества всех наблюдений.

Далее проводятся две независимые регрессии для первых из оставшихся (после выполненного исключения) средних наблюдений и двух последних из этих оставшихся средних наблюдений. После этого строятся два соответствующих остатка. Наконец, составляется F-статистика Фишераи, если верна исследуемая гипотеза, тоF действительно является распределением Фишера с соответствующими степенями свободы. Тогда большая величина этой статистики означает, что проверяемую гипотезу необходимо отвергнуть. Без шага исключения наблюдений мощность данного теста уменьшается.

Тест Бреуша — Пагана применяется в тех случаях, когда априорно предполагается, что дисперсии зависят от некоторых дополнительных переменных. Сначала проводится обычная (стандартная) регрессия и получается вектор остатков. Затем строится оценка дисперсии. Далее проводится регрессия квадрата вектора остатков деленного на эмпирическую дисперсию (оценку дисперсии). Для нее (регрессии) находят объясненную часть вариации. А для этой объясненной части вариации, деленной пополам, строится статистика. Если верна нулевая гипотеза (справедливо отсутствие гетероскедастичности), то эта величина имеет распределение χ². Если же тест, напротив, выявил гетероскедастичность, то исходная модель преобразуется делением компонентов вектора остатков на соответствующие компоненты вектора наблюдаемых независимых переменных.