Тема 6. Прогноз на основании линейной регрессии

План темы

6.1. Понятие о доверительном интервале

6.2. Алгоритм нахождения полуширины доверительного интервала

1. Понятие о доверительном интервале

Если бы имелись сведения по всей генеральной совокупности, то модно было бы довольно точно найти статистические характеристики, например, . Но, как правило, имеется выборка, в которой порядка десятка точек. По выборке рассчитывают выборочное среднее.

Истинное значение может быть как больше, так и меньше выборочного, то есть точное значениепопадает в некоторый интервал, центром которого является выборочное значение.

Если задаться вероятностью  (например, 0,9; 0,99; 0,95) попадания в интервал, то чем больше будет задана вероятность, тем шире будет получаться интервал. Если начать уменьшать, то интервал будет сужаться.

Описанный интервал называется доверительным интервалом, а  - коэффициентом доверия. Чаще всего на практике берут . Это означает, что в 95% случаев точное значение параметра попадает в интервал.

Доверительный интервал – это интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение неизвестного параметра.

Коэффициент доверия – это вероятность, с которой доверительный интервал накроет неизвестный параметр.

2. Алгоритм нахождения полуширины доверительного интервала

По генеральной совокупности для конкретного x можно было бы довольно точно найти прогноз . По выборке строится линейная регрессияи запринимают, снятое с прямой регрессии.

Доверительный интервал, в который попадает неизвестное с некоторым коэффициентом доверия, в случае линейной регрессии оказывается симметричным относительно . Поэтому достаточно найти полуширину доверительного интервала.

При нахождении  используется специально сконструированная статистика (случайная величина), распределенная по закону Стьюдента.

Распределение Стьюдента возникает каждый раз, когда сравниваются два математических ожидания (два средних). Распределение Стьюдента симметрично относительно начала координат. Число степеней свободы для критерия Стьюдента.

Полуширина доверительного интервала в точке прогноза вычисляется по формуле:,

где - среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии, здесь;

- критическая точка распределения Стьюдента;

- объем выборки;

- точка из области прогнозов.

Прогнозируемый доверительный интервал для любого x из области прогнозов записывается: .

Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область. Для линейной однофакторной регрессии она симметрична относительно линии регрессии. Наиболее узкое место доверительной области в точке .

Прогноз для произвольного х дает интервал, в который с вероятностью  попадает неизвестное . То есть прогноз при заданномх составит от дос надежностью. Это прогноз с учетом доверительного интервала.

Тема 7. Нелинейная однофакторная модель

План темы

7.1. Линеаризация нелинейных зависимостей

7.2. Алгоритм построения нелинейных эконометрических моделей

1. Линеаризация нелинейных зависимостей

Многие экономические процессы не могут быть адекватно описаны линейной зависимостью. Примером таких экономических процессов могут служить: жизненный цикл товаров, процесс накопления капитала, маркетинговые усилия фирм и др.

Наиболее часто используется пять нелинейных зависимостей, которые предпочтительнее других зависимостей тем, что их удается линеаризовать (свести к линейным):

1. Степенная зависимость: .

Для линеаризации прологарифмируем это уравнение: . Обозначим. Получим линейную модель от новых переменных:. Обратное преобразование:. Значит,.

2. Экспоненциальная зависимость: .

Чтобы ее линеаризовать, прологарифмируем это уравнение: . Обозначим:. Получим:. Обратное преобразование:. Значит,.

3. Логарифмическая зависимость: . Сделаем замену:. Получили:.

4. Обратная зависимость: . Сделаем замену:. Получили:.

5. Логистическая кривая: . Сделаем замену:. Получили:.