2. Коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции

Значения среднеквадратического отклонения (большие или малые) еще не дают характеристику того, есть ли связь междуx и y. Поэтому вводится еще одна статистика – коэффициент корреляции. Вначале считается ковариация x,y – (совместная вариация): .

Ковариация обладает тем свойством, что она тем больше по модулю, чем ближе корреляционное поле к прямой. Если корреляционное поле начинает размываться, ковариация уменьшается.

Для удобства работы ковариацию делят на произведение и называюткоэффициентом корреляции (). Коэффициент корреляции между переменнымиx и y вычисляется по формуле: .

Коэффициент корреляции является показателем плотности линейной взаимосвязи.

Свойства коэффициента корреляции:

• ;

• если 0, то зависимость между фактором x и y прямая, то есть с ростом x показатель y также возрастает;

• если 0, то зависимость между фактором x и y обратная;

• если   1, связь между x и y – почти линейная;

• если   0, либо связи нет, либо связь резко нелинейная.

Плотность линейной взаимосвязи оценивают по следующей таблице:

Значение	Плотность линейной связи
0,9…1,0	Тесная
0,6…0,9	Достаточная
0,3…0,6	Слабая
 0,3	Нет связи

Обычно строят корреляционную таблицу (корреляционную матрицу) связи между переменными x и y. Она имеет вид:

	x	y	x = x  = 1
x	1		y = y  = 1
y		1	=

Тема 3. Подбор параметров прямой регрессии по методу наименьших квадратов

План темы

3.1. Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

3.2. Свойства линейной регрессии

1. Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

Парной (однофакторной) линейной регрессией называется линейная зависимость между зависимым показателемY и независимым фактором X.

Связь между x и y пытаются описать зависимостью .

В силу случайных влияний показатель является случайным и может быть записан,

где - случайное отклонение.

Отклонение (ошибка) исходных данных от рассчитанных по моделивычисляется по формуле.

Суть метода наименьших квадратов (МНК) состоит в том, чтобы минимизировать отклонение в совокупности путем правильного подбора коэффициентов.

Так как отклонение может иметь случайный знак (+ или -), то рассматривают квадраты отклонений и минимизируют сумму квадратов отклонений: .

Сумма S является функцией двух неизвестных параметров . Необходимое условие минимума функцииS – равенство нулю производных по :

;

.

Получилась система двух линейных уравнений от двух неизвестных. Такая система имеет единственное решение.

Выразив коэффициенты и сделав арифметические преобразования, получим выражения для определения этих коэффициентов:

; .

Подставляя эти выражения в уравнение регрессии, получим

.

Это уравнение линии регрессии.

2. Свойства линейной регрессии

1. Сравним уравнение с уравнением прямой, проходящей через точку ():. Из сравнения этих уравнений видно, что прямая регрессии всегда проходит через центр рассеяния корреляционного поля, то есть через точку ().

2. Из выражения следует, что угловой коэффициентвыражается через коэффициент корреляциии среднее квадратичное отклонение фактора и отклика, то есть знаксовпадает со знаком коэффициента корреляции (так каквсегда).

Если  0, то 0, угол  острый, связь между x и y – прямая, то есть с ростом x возрастает y.

Если  0, то 0, угол  тупой, связь между x и y – обратная, то есть с ростом x y убывает.