Тема 5. Проверка линейной регрессии на адекватность

План темы

5.1. Коэффициент детерминации

5.2. Проверка модели на адекватность с помощью критерия Фишера

1. Коэффициент детерминации

После того, как была построена модель линейной регрессии , необходимо проверить ее на адекватность, то есть проверить, соответствует ли построенная модель имеющимся статистическим данным.

Вначале рассмотрим вариацию (разброс) зависимого показателя Y относительно своего среднего значения. Отклонение равно . Можно записать:, где- расчетные значения. То есть вариацию зависимого показателяY вокруг своего среднего значения можно разделить на два слагаемых: - вариация расчетных значений вокруг среднего;- вариация расчетных значений вокруг фактических.

Обозначим:

- вариация, объясняемая регрессией с числом степеней свободы k=1;

- остатки, необъясненный разброс с числом степеней свободы ;

- общая вариация с числом степеней свободы .

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии обычно используют коэффициент детерминации: .

В числителе стоит сумма квадратов отклонений линии регрессии от фактических значений, а в знаменателе – от среднего значения. Значит, чем меньше отклонение расчетных значений от фактических, тем меньше дробь и тем ближе значение коэффициента детерминации к 1. поэтому считается, что чем ближе значение коэффициента детерминации к 1, тем лучше модель описывает статистические данные.

Обычно в экономике для вариационных рядов величина коэффициента детерминации не превышает 0,6…0,7. считается, что общее качество такой модели хорошее. Ответ на вопрос об адекватности модели не дает.

2. Проверка модели на адекватность с помощью критерия Фишера

Проверка линейной модели на адекватность означает выяснение наличия зависимости y от x.

Постановка задачи

Выдвигаем гипотезу: . Уравнение регрессии будет иметь вид:. То есть функциональной зависимости междуy и x нет. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой две дисперсии: и.

То есть вычисляем дисперсию остатков и дисперсию расчетных данных, взятых с регрессионной прямой.

Вычисляем количество степеней свободы для статистик. Число степеней свободы дисперсииравно- объем выборки).

Число степеней свободы статистики всегда равно 1, так как прямая регрессии всегда обязана проходить через центр регрессии, для нее можно только слегка изменить угол наклона прямой.

Отношение введенных дисперсий представляет собой случайную величину, распределенную по закону Фишера со степенями свободы :.

Проанализируем, что дает отношение дисперсий в случае, когда уравнение регрессии будет иметь вид: . Все слагаемые вравны 0, и наблюдаемое значение критерия Фишера также равно 0:.

Переход от случая, когда можно признать (а следовательно,и зависимостьy от x отсутствует) к случаю, когда следует признать (, то есть зависимостьy от x есть), производят, сравнивая с теоретически вычисленным критическим значением для критерия ФишераFкр. Рассчитывают точку Fкр при некотором уровне значимости гипотезы . Если , то делаем заключение, что, значит,y от x не зависит, следовательно, модель неадекватна. Если же , то гипотезаотвергается, значит,y зависит от x и, следовательно, модель адекватна (с гарантией).

По этой модели можно теперь находить прогноз в точке из области прогнозов.Областью прогнозов называется отрезок прямой, заключенный между и. Такой прогноз называется точечным.