2. Алгоритм построения нелинейных эконометрических моделей

1. Имеется выборка, относительно которой есть экономические соображения о виде зависимости между х и у: .

X	x1	x2	…	xn
Y	y1	y2	…	yn

2. Если зависимость известна, то используя соответствующую замену, пересчитываем значения выборки и получаем новую выборку, по которой можно построить линейную модель: .

U	u1	u2	…	un
V	v1	v2	…	vn

3. Найденную модель проверяем на адекватность. Если она адекватна, то и исходная линейная модель адекватна. Если линеаризованная модель неадекватна, то исходная модель выбрана неверно и нужно подобрать другую нелинейную модель (например, вместо степенной попробовать экспоненциальную).

4. Если линеаризованная модель адекватна, то в тех точках, в которых нужно посчитать прогноз, рассчитываем величину доверительного интервала для линеаризованной модели.

5. Пересчитываем прогноз и доверительный интервал для точки прогноза из линеаризованного вида в исходный нелинейный. Для этого находим границы доверительного интервала для линеаризованной модели () и для них, а также для значенийс помощью обратного преобразования находим.

Для нелинейной регрессии доверительный интервал может быть несимметричен относительно линии регрессии.

Тема 8. Гетероскедастичность

План темы

8.1. Состоятельность и гомоскедастичность

8.2. Обобщенный метод наименьших квадратов

8.3. Тесты гетероскедастичности

1. Состоятельность и гомоскедастичность

Наряду с аналитической зависимостью в правой части регрессионного уравнения важную роль играет еще случайный член. Эта случайная компонента является ненаблюдаемой величиной. Сами статистические проверки параметров регрессии и показателей корреляции основаны на непроверяемых предпосылках о распределении этой случайной составляющей множественной регрессии.

Коэффициенты регрессии, полученные из системы нормальных уравнений, — это выборочные оценки силы связи. Практическое значение они имеют только тогда, когда являются несмещенными. В этом случае среднее остатков равно нулю или, что то же, среднее оценки равно самому оцениваемому параметру. Тогда остатки не будут накапливаться при большом числе выборочных оцениваний, а сам найденный параметр регрессии можно рассматривать в качестве среднего из большого количества несмещенных оценок.

Кроме того, оценки должны иметь наименьшую дисперсию, т.е. являться эффективными, и тогда появляется возможность перехода от практически малопригодных точечных оценок к интервальному оцениванию. Наконец, доверительные интервалы применимы с большой степенью эффективности, когда вероятность получения оценки на заданном расстоянии от истинного (неизвестного) значения параметра близка к единице. Такие оценки называются состоятельными, и свойство состоятельности характеризуется увеличением их точности с увеличением объема выборки.

Однако условие состоятельности не выполняется автоматически и существенно зависит от выполнения следующих двух важных требований:

1. Сами остатки должны быть стохастическими с максимально выраженной случайностью, т.е. все явно функциональные зависимости должны быть включены именно в аналитическую компоненту множественной регрессии, к тому же значения остатков должны быть распределены независимо друг от друга для различных выборок (отсутствие автокорреляции остатков).

2. Одинаковость дисперсии каждого отклонения (остатка) для всех значений переменных х (гомоскедастичность), т.е. гомоскедастичность выражается постоянством дисперсии для всех наблюдений:

Напротив, гетероскедастичность заключается в нарушении такого постоянства дисперсии для различных наблюдений. В этом случае априорная (до наблюдений) вероятность получения сильно отклоненных величин с различным теоретическим распределением случайного члена для различных наблюдений в выборке будет относительно высока.

Гетероскедастичность может приводить к смещенности оценок коэффициентов регрессии. Гетероскедастичность будет главным образом сказываться на уменьшении эффективности оценок коэффициентов регрессии. Особенно затруднительно становится при этом пользоваться формулой стандартной ошибки коэффициента регрессии, которая предполагает единую дисперсию остатков для любых значений фактора. Что касается несмещенности оценок коэффициентов регрессии, то она прежде всего зависит от независимости остатков и самих величин факторов.

Помимо требований к множественной регрессии, вытекающих из применения МНК, необходимо соблюдать также условия на переменные, включаемые в модель. К таковым прежде всего относятся требования относительно числа факторов модели по заданному объему наблюдений (1 к 7). В противном случае параметры регрессии окажутся статистически незначимыми. С точки зрения эффективности применения соответствующих численных методов при реализации МНК необходимо, чтобы число наблюдений превышало число оцениваемых параметров (в системе уравнений их число более числа определяемых переменных).