1.10. Задача формализации и гиперкомплексная систематика

Начальный этап создания и изложения любой теории, переход ее из «вещи в себе» (на уровне мыслей создателя теории) в «вещь для нас» (интеллектуальный продукт, вычлененный из сознания автора и представленный в форме, доступной для ее использования другими людьми) неизбежно начинается со словесных формулировок основных понятий, определений и принципов разрабатываемой теории. Однако словесные формулировки (вербальная модель) громоздки и многозначны.

1. Громоздкость. По мере развития теории и накопления концептуально-понятийного материала словесное изложение резко увеличивается в объеме, делается труднообозримым (потеря эмергентности) и утомительным для восприятия (учет следствий из принципа гомоцентризма).

2. Многозначность. Большинство слов любого обыденного языка многозначно по смыслу. Поэтому словесные определения каких-либо понятий, особенно вновь вводимых, трактуются по-разному различными исследователями: сколько людей, столько и интерпретаций, определяемых в основном интуицией, личным опытом и здравым смыслом исследователя. Явление многозначности и следствия из него можно проиллюстрировать простым математическим расчетом конкретного словесного примера. Допустим, нам дано предложение из шести слов, каждое из которых обозначим a_i (i = 1, 2, …, 6). Пусть каждому слову a_i соответствует n_i трактовок. Примем, что вероятность выбора той или иной трактовки одинакова для всех слов и их смысловых значений. Тогда вероятность выбора (например, с помощью ЭВМ) именно требуемой трактовки всего предложения из общего числа возможных трактовок определится выражением

где р — вероятность выбора; С_n^m — число сочетаний из п элементов по т.

Для нашего примера, допуская (для конкретности), что цепочка из шести слов составляет исходное предложение, а каждое из слов, начиная с первого, имеет 1, 2, 4, 1, 2, 3 трактовок, получим

Результат (1.37)— среднестатистический, очень простой и не требует особых комментариев. Нетрудно представить себе, что получится, если анализируемый текст будет состоять не из шести, а, скажем, из тысячи или более слов. Чем меньше величина р, тем больше неопределенность анализируемого словесного текста. Особое значение эта проблема приобретает при исследованиях, когда обработка исходной информации ведется с помощью ЭВМ.

3. Сложность для ЭВМ-реализации. Вербальная модель трудно поддается процессам алгоритмизации, а в целом ряде случаев, особенно в области психологических, биологических, философских и других аналогичных научных направлений, практически не пригодна к ЭВМ-реализации.

Уже рассмотренных замечаний достаточно для того, чтобы понять необходимость постановки задачи формализации и, в первую очередь, введения удобной символики в методологию инвариантного моделирования и в теорию ГДС. Решение задачи формализации можно рассматривать как процесс и исследовать его средствами теории ГДС. Такой анализ был проведен, и, как показано в [ 15], системные модели и просто произвольные ГДС всегда могут быть описаны на основе двух различных, взаимообусловливающихся подходов: дискретного и непрерывного. При дискретном подходе ГДС (или ее элементы) рассматриваются как гиперкомплексные точки в ГДС-пространстве, что делает удобным применение в данном случае средств дискретной математики для описания ГДС-закономерностей. Здесь применимы теоретико-множественные, групповые, категорийные, матричные подходы и целый ряд других средств современной математики [8, 12, 191.

При непрерывном представлении ГДС удобно отображать в виде поля (например, реализация взаимодействия — как процесс интерференции волн) и использовать для этого соответствующий математический аппарат теории поля, в основном базирующийся на интегродифференциальных уравнениях [9].

Пригодность ГДС-закономерностей к таким двум крайним способам описаний дала возможность использовать в реализации задачи формализации практически все существующие на сегодняшний день математические понятия, закономерности и методы. Некоторые замечания по поводу применимости математических и других методов для целей ГДС подхода рассмотрены в параграфе 1.11. Здесь же остановимся на изложении особенностей использования матричного подхода к описанию ГДС-закономерностей и рассмотрим конкретный пример составления матрицы сложной ГДС.

Матричный метод был выбран как конкретный вариант дискретного представления ГДС-метода при изложении практически во всех работах по инвариантному моделированию и ГДС-тематике. Причиной, обусловившей применение именно матричного метода, явилась его пригодность для отображения требуемых системных свойств и закономерностей, наглядность в пользовании, простота матричных операции и ЭВМ-реализуемость. Само понятие матрицы при этом пришлось несколько видоизменить: в теории ГДС введено понятие гиперкомплексной матрицы. Это понятие, так же как и процедура введения начальной символики и ГДС-операций, изложено в [15]. Здесь же приведем только порядок действий, необходимых для составления гиперкомплексной матрицы, и проиллюстрируем его реализацию на конкретном примере для ГДС со сложной структурой.

Порядок составления гиперкомплексной матрицы следующий.

1. Из исходных данных, подлежащих матричному описанию, выбираем и группируем в отдельные последовательности элементы будущей системы. Нумеруем эти элементы в пределах каждого иерархического уровня.

2. Упорядочиваем и нумеруем последовательность уровней иерархии в исходной системе.

3. Строим квадратную матрицу в виде таблицы, размер которой определится числом элементов в исходной системе. Для этого делим стороны таблицы на число отрезков, равных числу элементов высшего иерархического уровня. Полученную крупноблочную матрицу детализируем: крупные клетки, соответствующие элементам высшего иерархического уровня, делим на части, число которых равно числу элементов, входящих в состав крупного блока (учитываем внутреннее строение элементов высшего иерархического уровня). Процесс продолжаем до тех пор, пока элементы всех иерархических уровней не будут учтем ы

4. Информацию о системе располагаем в матрице. На главной диагонали (в наиболее общем случае) ставим единицу (гиперкомплексную единицу в мети теоретической, абстрактной форме записи), если соответствующий элемент ГДС есть. При отсутствии элемента ставим нуль или ничего не пишем. Номер системного элемента совпадает с номером диагонального элемента матрицы. Слева и справа от главной диагонали располагаем информацию о взаимодействиях элементов с учетом направления взаимодействия. Обозначим через Y_пт взаимодействие элемента п с элементом т в направлении от п к т. В общем случае матрица, описывающая состояние системы, обозначается Y и часто называется просто матрицей взаимодействий, учитывая при этом негласно ее ГДС-характер.

Рассмотрим пример построения гиперкомплексной матрицы для сложной ГДС, изображенной на рис. 1.2, где замкнутыми линиями (окружностями) отображены элементы, которые обозначены буквой А с соответствующими индексами. Например, А_1.2 — это второй элемент нижнего уровня иерархии, входящий в состав первого элемента А₁. Направленные отрезки обозначают межэлементные взаимодействия. Например, Y_(1.2)(1/1) — это взаимодействие между элементами А_1.1 и А_1.2, направленное А_1.2 к А_1.1 .

В соответствии с предложенным порядком построения матрицы для рассматриваемой ГДС получим

Порядок матрицы Y такой: N= а,β = 2, 2 (в соответствии с числом элементов на каждом иерархическом уровне).

Следует помнить, что в (1.38) все обозначения обладают высоко­абстрактным содержанием и являются символикой метатеоретического уровня. Эти обозначения следует наполнять конкретным содержанием, видоизменяя их при переходе с метатеоретического на конкретный уровень. Например, простейшая абстрактная форма вида

может быть конкретизирована, если видоизменить элементы матрицы,скажем, в области теории электрических цепей [24], где под ГДС-элементами будем подразумевать собственную проводимость узла электрической цепи, и взаимодействия отобразим межузловыми проводимостями. Иными словами, в (1.39) необходимо будет провести конкретизацию — замену вида

Пусть электрические величины заданы в каких-либо конкретныхединицах, например сименсах, и имеют такие значения. у₁₁ = 2; у₂₂ = 3; y₁₂ = - 1; y₂₁ = - 1. Учитывая выражения (1.40) и их конкретизацию, подставляя все это в (1.39), получаем

Выражение вида (1.41) уже можно использовать для проведения конкретных ЭВМ-расчетов при решении задач схемотехнического анализа средствами САПР [22, 23].

Над гиперкомплексными матрицами могут выполняться соответствующие операции, порядок реализации и содержание которых оговариваются по мере необходимости. В общем случае процедура реализации ГДС-операции, например над матрицей Y, записывается и виде

где Р_n^(A) — ГДС-опеатор, в котором индекс А обозначает качественную разновидность оператора (тип), а индекс п — частный вариант оператора данного типа; Y^' — результат выполнения операции Р_n^(A) над исходной матрицей Y.

Более детально, с конкретными примерами реализация ГДС-операций изложена в [151. Реализация процесса формализации, введете символики, определение порядка гиперкомплексных операций и изложение их закономерностей объединяются в теории ГДС в одно направление, названное систематикой (синтез двух слов: «система» и «математика»), в которой в качестве обобщенной символической величины, используемой для обозначения ГДС-величин и удобной для реализации ГДС-операций, введено понятие М-числа [151. Это число, как и все системные понятия, обладает полным набором ГДС-свойств, подчиняется ГДС-закономерностям. Для М-числа есть единственная операция (на высшем, метатеоретическом уровне) — гиперкомплексное взаимодействие, которое, например, при дискретном описании М-числа, переходит в операцию гиперкомплексного сложения для ГДС-матриц.

Анализ свойства М-числа показал, что из него, путем наложения ограничений, можно получить в виде частных случаев ряд разновидностей чисел и других абстрактных понятий, используемых в классической математике для символического отображения математических объектов: действительные, гипердействительные, комплексные, гиперкомплексные, сюрреальные числа, понятия вектора, точки, категории, группы и т. д. [15, 19].