книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Вопросы, задачи и упражнения к главам 19–22

493

неустойчивого равновесия (см. рис. В22.2) в точку Â устойчивого равновесия при à) увеличении индуктивности L катушки (r const), á) увеличении сопротивления r резистора (L const)?

5. В каком виде можно изобразить характеристику u F (i) нелинейного элемента вблизи точек À, Â равновесия (см. рис. В22.2) при разложении функции u F (ið + ?) в ряд и удержании слагаемых не выше первой степени отклонения ? òîêà?

6. В электрической цепи (см. рис. В22.1) с нелинейным сопротивлением, имеющим падающую характеристику u F (i) (см. рис. В22.2), устойчивым является состояние равновесия в точке Â, а неустойчивым — в точке À. Сохранится ли в точках À, Â тот же характер равновесия, если нелинейное сопротивление имеет показанную на рис. В22.3 падающую характеристику uíý f(iíý)?

Ðèñ. Â22.3

Ðèñ. Â22.4

7. Изобразите схемы электрических цепей, которые соответствуют линейным дифференциальным уравнениям первого порядка для малых приращений ? iíý è ? uíý в цепях, показанных на рис. В22.1, В22.4.

Ðèñ. Â22.5

8. (Р) Найдите соотношения, которым должны удовлетворять параметры элементов изображенных на рис. В22.5 цепей и при выполнении которых состояние равновесия устойчиво для малых отклонений от него токов и напряжений. Сопротивление нелинейного элемента при линеаризации его характеристики в точке равновесия примите равным rä.

22.2. Автоколебания в нелинейных электрических цепях

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.(О) Возможно ли возникновение автоколебаний в электрической цепи, в которой выполнена не положительная, а отрицательная обратная связь?

2.(О) Возможно ли возникновение незатухающих колебаний в пассивной цепи, содержащей неидеальные катушки индуктивности и конденсаторы?

3.Почему форма автоколебаний обычно отличается от синусоидальной?

4.Корни характеристического уравнения, получаемого при линеаризации зависимости uíý(i), вещественные. Могут ли в цепи возникать автоколебания?

494 Вопросы, задачи и упражнения к главам 19–22

5.В генераторе, содержащем индуктивно связанные катушки, существуют автоколебания. Будут ли они существовать при изменении знака (см. рис. В22.9) взаимной индукции, т. е. при переключении зажимов одной из катушек?

6.(О) В цепи с одним нелинейным элементом, характери-

стика которого показана на рис. В22.6, существуют автоколебания. Какой может быть наибольшая амплитуда колебаний тока этого элемента? Почему могут существовать автоколебания с меньшей амплитудой?

7. Является ли необходимым для возникновения автоколе-
баний наличие в электрической цепи нелинейного элемента	Ðèñ. Â22.6
с падающей характеристикой?

8.(О) В линейной цепи с передаточной функцией K(p), охваченной устройст-

вом обратной связи с передаточной функцией Kîñ(p), существуют незатухающие колебания. Запишите уравнения, позволяющие рассчитать частоту и амплитуду колебаний на выходе цепи. Какой вид примут эти уравнения, если цепью обрат-

ной связи с передаточной функцией Kîñ(p) охвачен безынерционный усилитель с коэффициентом усиления Kó?

9.(О) Почему релаксационные колебания в цепи, изображен-

	ной на рис. В22.7, невозможны, если прямая u U0 – r1i пересе-
	кает характеристику u !(i) (ðèñ. Â22.8, à) нелинейного эле-	Ðèñ. Â22.7
	мента на одном из ее восходящих участков?

Ðèñ. Â22.8

10. Как изменяется период релаксационных колебаний (рис. В22.8, á) в цепи (рис. В22.7) при изменении: à) емкости Ñ конденсатора; á) напряжения U0 ; â) сопротивления r1 резистора?

22.3. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.В чем заключаются достоинства аналитического решения задачи расчета переходного процесса в нелинейных электрических цепях?

2.Из каких соображений следует выбирать выражение для аппроксимации характеристики нелинейного элемента при поиске аналитической зависимости тока либо напряжения в переходном процессе?

3.В чем состоят трудности получения аналитических решений дифференциальных уравнений при расчете переходных процессов в нелинейных цепях?

Вопросы, задачи и упражнения к главам 19–22

495

4.(О) Характеристику нелинейного элемента аппроксимируют отрезками прямых. Какие условия для нахождения постоянных интегрирования следует принимать на границах отрезков, если дифференциальное уравнение на каждом из участков имеет порядок: à) первый; á) второй; â) k-é?

5.Ïðè кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента на границах участков аппроксимации соответствующая величина (сопротивление, индуктивность либо емкость) изменяется скачком. Следует ли принимать во внимание мгновенное изменение параметра при расчете переходного процесса на каждом из отрезков?

6.Для нахождения какой из указанных далее величин метод условной линеари-

зации более точен: à) для определения максимальных значений <max, imax в переходном процессе; á) для определения времени переходного процесса?

7.(Р) Рассчитайте токи ветвей и напряжение на нелинейном элементе в схемах, изображенных на рис. В22.9, методом кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента. Характеристики нелинейных элементов приведены в таблице. Напряжения на входе цепи указаны в вольтах, сопротивления резисторов — в омах, емкости конденсаторов — в микрофарадах.

Вебер-амперная																		Вольт-кулоновская																								Вольт-амперная
характеристика														характеристика																										характеристика
катушки индуктивности														конденсатора																													резистора
<, Âá										iL, À						q, ìêÊë														uC, Â												uR, Â										iR, À
0				0										0														0												0							0
0,01				0,5										10														4												20							0,04
0,03				1										20														11												40							0,08
0,055				1,5										24														16												50							0,1
0,09				3										28														22												70							0,2
0,109				4,5										32														33												80							0,3
0,113				5										36														47												93							0,5
0,119				6										40														63												106							0,9
0,124				7										44														84												115							1,4
0,132				9										48														113												120							1,8
0,137				11										49														129												126							2,8
0,141				15										50														155												127							3,2

Ðèñ. Â22.9

1. Рассчитайте промежуток t времени движения

496 Вопросы, задачи и упражнения к главам 19–22

22.4. Метод фазовой плоскости

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.Можно ли по фазовой траектории цепи определить направление движения изображающей точки?

2.Может ли фазовая траектория нелинейной цепи: à) быть разрывной; á) располагаться только в одном квадранте плоскости x0y; â) иметь внутри предельного цикла неустойчивый узел?

3.Какие точки фазовой плоскости соответствуют положению равновесия нелинейной цепи?

4. Являются ли изоклинами линии x 0, y 0?

5. В каких случаях целесообразно предварительно изображать семейство изоклин и лишь затем строить фазовую траекторию?

	6. (Р) Получите выражение для расчета промежутка					Ðèñ. Â22.10
	времени T переходного процесса, фазовая траектория
	которого (рис. В22.10) выражена уравнением	x 2		y 2	1, при изменении õ îò 0
		a2
				b2

äî à, ãäå a, b — длины полуосей эллипса.

7. (Р) Участок Α ... n + 1 фазовой траектории (рис. В22.10) является отрезком эл-

липса с уравнением x 2 y 2 a2 b2

изображающей точки по этому участку.

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

9.1. Общий путь расчета переходных процессов. Метод переменных состояния

ВОПРОСЫ

3. Порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в электрической цепи, в общем случае не равен полному числу катушек индуктивности и конденсаторов в цепи. Последовательно (или параллельно) включенные катушки индуктивности можно объединить в одну, также как и соответствующим образом включенные конденсаторы. Однако и после такого объединения число катушек и конденсаторов может превышать порядок дифференциального уравнения. Действительно, если к некоторому узлу подходят ветви, каждая из которых включает в себя катушку индуктивности (в этом случае, как говорят, имеется L=-сечение), то ток одной из катушек можно выразить че- рез токи других катушек из уравнения первого закона Кирхгофа, составленного для этого узла. Аналогично из уравнения второго закона Кирхгофа, записанного для контура, содержащего конденсаторы (если такие контуры, называемые CE-кон- турами, имеются), можно исключить напряжение одного из конденсаторов, выразив его через напряжения других конденсаторов. Если число L=-сечений в цепи равно k, а число CE-контуров — m, то порядок дифференциального уравнения уменьшится на число k + m.

Если в цепи нет последовательно (или параллельно) соединенных элементов одного вида, а также нет L=-сечений и CE-контуров, то порядок дифференциального уравнения равен числу катушек и конденсаторов в цепи.

4. Ïðè fk(t) A const òîê i (t) установившегося режима будет постоянным и

k

все его производные, входящие в левую часть дифференциального уравнения, обратятся в нуль. Искомый ток ik A/a0 находим из получаемого при этом урав-

нения a0 ik A.

Для расчета тока в случае á следует, записав в комплексной форме функцию fk ,

а также ток и его производные, решить получаемое алгебраическое уравнение относительно тока I k , после чего найти его мгновенное значение.

5. Выбираемый метод составления системы уравнений определяет только их число, но не порядок дифференциального уравнения, который (см. ответ на вопрос 3) зависит от схемы электрической цепи и количества входящих в нее катушек индуктивности и конденсаторов.

9. Наличие отрицательных вещественных корней характеристического уравнения означает, что в электрической цепи имеются резисторы. Это исключает существование мнимых корней, появление которых возможно только при отсутствии потерь в цепи, когда в ней возникают незатухающие колебания тока.

Однако в электрических цепях, состоящих из нескольких подцепей, переходные процессы в которых не оказывают взаимного влияния, возможно существование указанной комбинации корней характеристического уравнения. Пример такой цепи показан на рис. Р9.1, à. Ее можно представить в виде двух подцепей,

	498 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач
	переходные процессы в которых неза-
	висимы (рис. Р9.1, á). Как видно, ве-
	щественный корень соответствует од-
	ной подцепи, а два мнимых — другой.
	Поэтому эти корни не следует рас-
	сматривать как совокупность корней	Ðèñ. Ð9.1
	одной электрической цепи.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Учитывая, что в цепях действуют источники постоянных напряжений и токов, при расчете токов и напряжений в установившемся режиме катушки индуктивности замыкаем накоротко, а ветви с конденсаторами разрываем. Получаем:

à) uC ( ) E; á) uC ( ) 0; â) uC ( ) 0,5E; ã) uC ( ) 0,5E; ä) iL( ) E/r ; å) iL( ) 0,5=; æ) iL( ) E/r ; ç) iL( ) 0,5=.

2. à) W(0) 0, W( ) 0,5CE 2; á) W (0) 0,5CUC2 (0), W( ) 0; â) W(0) 0,5CE 2, W( ) CE 2/8; ã) W(0) 2CE 2/9, W( ) CE 2/8; ä) W(0) 0, W( ) LE 2/2r 2; å) W(0) 0,5L=2, W( ) L=2/8; æ) W(0) LE 2/8r 2, W( ) LE 2/2r 2; ç) W(0) 0,5L=2, W( ) L=2/8.

3. Напряжения на конденсаторах и токи катушек в установившемся режиме равны:

à) Em[1 + (r C)2]–0,5 sin [ t + arctg ( rC)–1 – 0,5#]; á) 0;

E m

rC

E m

L

â, ã)

sin

t

arctg

; ä, æ)

sin t arctg

;

4 2 r 2C2

2

r 2 2 L2

r

r= m

t

arctg

L

å)

sin

.

4r 2 2 L2

2r

4. à)

1

1 di

L

iL

E

,

di

r r

iL

r

E;

L

L

1

2

2

r1

r2 dt

r1

dt

L(r1 r2 )

L(r1 r2 )

du

C

1 1

E du

C

1

1 1

1

á, â) C

,

E ;

dt

uC

r1

dt

uC

r1

r2

C

r1

r2

r1C

ã)

d 2 i

L

1

di

L

i

L

E

,

di

L

1

u

,

du

C

1

i

1

u

E

;

dt

2

r C dt

LC

r LC dt

L

C

dt

C

L

rC

C

rC

d 2u

1

du

1

E

di

L

1

E

du

1

1

ä)

C

C

u

,

u

,

C

i

u

;

dt2

C

rC dt

LC

LC

dt

L

C

L

dt

C

L

r C

C

d 2 i

L

1

di

L

1

0,

di

L

1

E

du

1

1

E

å)

i

u

,

C

i

u

.

L

dt

2

rC

dt

LC

dt

L

C

L

dt

C

L

r C

C

r C

5. При расчете токов в ветвях цепи токи iL в катушках и напряжения uC на конденсаторах рассматриваем как заданные. Поэтому, изображая схему цепи (вариант ä), можем заменить катушки индуктивности источниками тока = iL и конденсаторы — источниками ЭДС e –uÑ (рис. P9.2). Получаемые таким

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

499

способом электрические цепи, содержащие источники тока = и источники ЭДС e, можно использовать для составления уравнений состояния, выражая ве-

личины uL L didtL , iC C dudtC через параметры цепи и все действующие в ней источники.

Ðèñ. Ð9.2

6. Порядок дифференциального уравнения равен m + p – k – n (см. ответ на вопрос 3). Число постоянных интегрирования совпадает с порядком уравнения. Для нахождения постоянных порядок наибольшей производной искомой переменной при t 0 будет на единицу меньше порядка уравнения.

10. В цепях (рис. Р9.3) переходный процесс отсутствует, так как uC (0) uC ( ).

Ðèñ. Ð9.3

11. Для нахождения величины iL(+0) iL(–0) определяем вначале ток iL(–0) в катушке до коммутации, принимая во внимание обстоятельство, что все ка-

тушки индуктивности можно замкнуть накоротко. Величину didtL (+0) находим,

записывая уравнения законов Кирхгофа в цепи, получаемой после коммутации, и подставляя в них найденный ток iL(+0). Имеем (при замыкании ключа):

à) iL(–0) 0,

diL

(+0)

1

uL(+0)

U

; á) iL(–0)

U

,

diL

(+0) 0;

dt

L

2L

r

dt

â) iL(–0)

U

,

diL

(+0)

U

;

ã) iL(–0)

E

,

diL

(+0)

E

;

r

3r

dt

3L

dt

5L

ä) iL(–0)

=,

diL

(+0)

=r

;

å) iL(–0)

E

,

diL

(+0)

2E

.

2

dt

2L

3r

dt

3L

12. Получаем при замыкании ключа:

à) uC (+0) uC

(–0),

duC

(+0)

U

; á) uC (+0) U,

duC

(+0)

U

;

dt

rC

dt

rC

â) uC (+0)

E

,

duC

(+0)

E

; ã) uC (+0) r =,

duC

(+0)

=;

2

dt

2rC

dt

C

ä) uC (+0)

2E

,

duC

(+0)

2E

.

3

dt

9rC

500 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

13. При замыкании ключа имеем à) iL1 (+0) iL2 (+0) Ur , uC (+0) 0. Из уравнений

L

diL

L

diL

i

r U,

L

diL

u

1

2

1

2

L

1

1

C

dt

dt

2

dt

находим:

diL

(+0)

U

,

diL

(+0)

–

U

,

du

C

(+0) 0,

1

2

dt

L1

dt

L

2

dt

d 2 iL

rU

d 2u

U

1

1

2

C

2

(+0)

2 ,

2

(+0)

;

dt

L

dt

L1

L

2

C

2

U, iL	iL	C	duC
1	2		dt

d 2 iL1 (+0 ) 0, dt2

(+0) iL

(+0)

U

(+0)

2U

diL

0,

diL

2U

du

0,

á) iL

, uC

,

1

(+0)

2

(+0)

,

C

(+0)

1

2

3r

3

dt

dt

3L2

dt

d 2 iL

d 2 iL

0,

d

2u

(+0) –

2U

1

(+0)

0,

2

(+0)

C

;

dt2

dt2

dt2

3L2C

iL (+0) iL

(+0) 0,

uC (+0) U,

diL

(+0)

du

d 2 iL

(+0) 0,

â)

1

C

(+0)

1

dt2

1

2

dt

dt

diL

(+0)

U

d

2 iL

–

rU

d 2u

U

2

,

2

(+0)

,

C

;

L2

dt2

L22

dt2

dt

L2C

ã) i

(+0) u

(+0) u

(+0) 0,

duC

(+0)

U

,

duC

2

(+0)

U

,

di

L

(+0)

U

,

1

L

C

C

2

1

dt

rC1

dt

rC2

dt

L

d 2u

U

1

1

1

d 2u

U

1

1

C1

(+0)

1

,

C2

(+0)

,

)

,

2

2

2

2

dt

C1 (L

r

C1

dt

r

C2

C1

C2 +

C2

d 2 iL

(+0)

rU

U

.

dt2

L2

rLC

1

14. В дополнении к указанным уравнение должно иметь также своими корнями: à) –j20, á) –2 – j5, â) j20, ã) любое отрицательное вещественное число.

9.2. Переходные процессы в цепях r, L è r, C

УПРАЖНЕНИЯ

5. В цепи с произвольным числом резисторов и одной катушкой индуктивности (одним конденсатором) свободная составляющая x (t) определяется выражением x t) x0 exp (–t/ ), ãäå õ0 — ее начальное значение (iL(0) ëèáî uC (0)). Так как при нахождении свободной составляющей все источники ЭДС должны быть замкнуты накоротко, а ветви с источниками тока — разомкнуты, то цепь можно представить в виде последовательно соединенных резистора и катушки индуктивности (конденсатора). Постоянная времени такой цепи L/rý (ëèáî rýC). Таким образом, для нахождения постоянной времени следует, замкнув нако-

–U0−2t exp (–−t) 0 имеет сво-

Ðèñ. Ð9.4

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

501

ротко источники ЭДС и разомкнув ветви с источниками тока, найти сопротивление rý, подключенное к зажимам катушки индуктивности (конденсатора), после чего рассчитать с помощью выражения L/rý ( rýC).

6. à) Рассматривая резистивную цепь между зажимами конденсатора, получаемую после замыкания накоротко источника ЭДС (рис. Р9.4), видим, что резисторы в ней не соединены по- следовательно-параллельно. После преобразования элементов r, 2r, r, соединенных треугольником, в трехлучевую звезду, находим сопротивления в лучах звезды: r10 0,75r, r20 0,5r, r30 0,75r. Искомое сопротивление rý 2,25r, так что постоянная времени равна 2,25rC. á) Размыкая ветвь, содержащую

источник тока, находим сопротивление цепи между зажимами конденсатора rý 1,2r и постоянную времени 1,2rC; â) rý 2r/3, 2rC/3; ã) rý 1,2r, L/1,2r ; ä) rý 7r/6, 6L/7r ; å) rý 2r, L/2r.

7. Используя соотношение Ldtdi E, получаем:

		1	t		1	t	1	t
	à) i(t)		E dt iL (0) Et/L;	á) i(t)		E(t) dt + iL(0)		E(t) dt.
		L			L		L
			0			0		0

8. Вся запасенная в электрическом поле конденсатора энергия W 0,5CE 22 10–4 Дж преобразуется в тепловую энергию, выделяемую в резисторе:

W r i2 dt r (Er)2 exp( 2trC)dt 0,5CE 2 2 10 4 Äæ.

00

9.3.Переходные процессы в цепи r, L, C

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

3. Период колебаний будет минимальным и равным Ò 2#/ 0 ïðè r 0. Он возрастает и стремится к бесконечности по мере приближения процесса к апериодическому, когда корни характеристического уравнения становятся вещественными и равными, что происходит при r 2(L/C)0,5.

5. В предельном случае апериодического заряда конденсатора напряжение на

íåì uÑ (t) U0(1 + −t)[exp (– −t)]. Уравнение duC dt

им решением значение t 0. Поэтому при апериодическом заряде конденсатора напряжение на нем меняется монотонно от U0 äî 0.

6. Напряжение на конденсаторе имеет экстремумы при t k #/ (k 1, 2, . . .): UC maxk –U0( 0/ )[exp (–−k#/ )] sin (k# – 7). Первый минимум напряжения (при t #/ ) ïðè − > 0 оказывается по модулю меньше напряжения U0 и может стать равным U0 ïðè − 0. Последующие (при t > #/ ) экстремальные значения напряжения uC также не превышают напряжение U0 при любых −.

502 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

9.4. Переходные процессы в цепях при мгновенном изменении параметров участков цепи

ВОПРОСЫ

1. Бесконечные импульсы напряжения на катушках индуктивности появляются, если ток в них при коммутации изменяется скачком подобно рассмотренному в § 9.10. Аналогично этому можем утверждать, что импульсы тока бесконечной амплитуды протекают в конденсаторах, если при коммутации напряжение на них изменяется скачком. В противном случае мгновенные изменения индуктивности (емкости) не приводят к появлению бесконечных импульсов напряжения или тока.

3.Ток в катушке индуктивности может измениться скачком, если только при коммутации образуется сечение, содержащее ветви с катушками. Поэтому условие появления такого сечения является необходимым для возникновения бесконечных импульсов напряжения. Если токи катушек в ветвях, образующих такие сечения, в момент коммутации сохраняют свои значения, то такие импульсы не возникают. Поэтому указанное условие не является достаточным для появления бесконечных импульсов напряжения.

4.Вариант à: появление бесконечного импульса тока возможно, так как при условии постоянства напряжения на зажимах источника ЭДС напряжение на конденсаторах должно измениться скачком. Вариант á: в силу того, что напряжение на резисторе может изменяться мгновенно при конечном токе, напряжения на конденсаторах сохраняют при коммутации свои значения и бесконечных импульсов не возникает. Вариант â: напряжение на зажимах источника тока может изменяться мгновенно, в связи с чем ответ на вопрос будет таким же, как и для варианта á.

10.1. Операторные изображения функций, их производных и интегралов

ВОПРОСЫ

3. Не существует, так как функция et 2 не удовлетворяет условию | et 2 |9 Ae t ïðè

больших значениях t. Она возрастает быстрее, чем функция Àå t, и поэтому интеграл Лапласа не имеет конечного значения. Напряжения и токи, возрастающие быстрее функции e t, на практике не встречаются.

5. В соответствии с определением преобразования Лапласа за нижний предел интеграла Лапласа принимают значение t +0, в связи с чем следует принять f(0) f(+0).

	УПРАЖНЕНИЯ
	1. Соответствующие изображения имеют вид:
	à) I(p) 2e30		1		; á) I(p)					500#	;
			p 10					(p 1)		2 (100#)2
	â) I(p)	10		; ã) I(p)			30		.
		(p 1)2
							p(p 10)