3.7. Моменты дискретных случайных величин

По закону распределения случайной величины мы можем записать закон распределения случайных величини,.

Величина называетсяначальным моментом k-го порядкаслучайной величины

.

Величина называетсяцентральным моментом k-го порядкаслучайной величины:

.

Заметим, что центральный момент первого порядка равен нулю: . А центральный момент второго порядка совпадает с дисперсией случайной величины:.

Зная достаточное число моментов, мы можем восстановить закон распределения случайной величины.

Пример 1. Задан закон распределения случайной величины

	0	2
	0,4	0,6

Найти начальный и центральный моменты третьего порядка.

.

Найдем начальный момент третьего порядка

.

Найдем центральный момент третьего порядка

.

3.8. Функция распределения

При определении случайной величины мы требовали, чтобыбыло событием при всех. Каждому действительному значениюхставится в соответствие вероятность события

.

Таким образом, определяется функция , которая называется функцией распределения случайной величины

Часто индекс при обозначении функции распределения опускается

.

Рассмотрим построение функции распределения случайной величины по заданному закону распределения

Опишем события :

при ;

при ;

при ;

при , где

при .

Тогда

Функция распределения ступенчатая. Ступеньки находятся над точками . Высота ступеньки надравна. Первая ступенька находится на нулевом уровне относительно осиОх, доходит она до точкивключительно. Последняя ступенька начинается от точки(сама точка не входит); относительно осиОхпоследняя ступенька находится на единичном уровне.

Ставится стрелка над точкой , так каки.

Пример 1. Задан закон распределения случайной величины

	3	5	6
	0,3	0,2	0,5

Построим график распределения этой случайной величины.

§ 4. Непрерывные случайные величины

4.1. Плотность распределения, функция распределения непрерывной случайной величины

Случайная величина, принимающая все значения из отрезка, интервала или все значения всей числовой оси, называетсянепрерывной. Число значений непрерывной случайной величины не является счетным.

Функция действительной переменной

называется функцией распределения. Это определение и для дискретных и для непрерывных случайных величин.

Приведем основные свойства функции распределения.

1. При любом хвыполняется неравенство

Поскольку и, то.

2. Функция распределения является неубывающейфункцией.

Если , то. Тогдаи.

3. 

Если , тостремится к невозможному событию, а. Поэтому

.

Если , тостремится к достоверному событию, а. Поэтому

.

4. Функция распределения непрерывна слева, то есть

.

Это свойство доказывается на основе строгого аксиоматического определения вероятности.

Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

где подынтегральная функция называетсяплотностью распределенияслучайной величины. Плотность распределения может иметь конечное число точек разрыва первого рода.

Для непрерывной случайной величины вероятность принятия конкретного значенияравна нулю

Докажем это утверждение. Из определения функции распределения

для любой случайной величины. Теперь обратимся к определению интеграла по бесконечному промежутку. Если случайная величина непрерывна, то

.

Рассмотрим и

.

Имеем

.

Мы можем выразить вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток через плотность распределенияи функцию распределения.

1. , т.к. .

2. 

3. 

Из определения несобственного интеграла вытекает формула нахождения плотности распределения по функции распределения

хточка непрерывности

Приведем свойства плотности распределения

1. для любого .

Функция распределения является возрастающей, а производная возрастающей функции не отрицательна.

2. , подграфик плотности распределения равен единице.

Доказательство этого свойства простое:

.

Пример 1. Задана функция распределения случайной величины

Найти плотность распределения. Найти вероятности ,,.

Плотность распределения является производной функции распределения

Тогда

Вероятности попадания в промежуток выразим через функцию распределения

;

;

.

Если однозначно определяется соответствие между случайной величиной и функцией распределения или плотностью распределения, то индексне ставится:

.

Пример 2. Задана плотность распределения случайной величины:

Найти константу с. Найти функцию распределенияи.

Используем свойство 2 плотности распределения

.

Подставим функцию

.

Тогда и.

Если подынтегральная функция fне отрицательная, тоявляется площадью подграфика функцииfна множестве.

Построим график плотности распределения

Если , то площадь подграфикана множественулевая. Тогдапри.

Если , то

.

Если , то

.

Запишем функцию распределения случайной величины

Используем плотность распределения для нахождения вероятности попадания случайной величины на промежуток

.