3.5. Мода и медиана дискретной случайной величины

Значение случайной величины , принимаемое с наибольшей вероятностью, называетсямодойи обозначается

Мода называется еще наивероятнейшим значениемслучайной величины.

Если эксперимент описывается случайной величиной, то в результате проведенной серии этого эксперимента чаще всего встречается мода случайной величины.

Медианаявляется значением случайной величины. Вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше медианы, равна 0,5:

Не все дискретные случайные величины имеют медиану.

Пример 1. Задан закон распределения случайной величины

		3	5	6
	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти моду и медиану случайной величины .

Найдем моду:

.

Тогда .

Для нахождения медианы нужно рассмотреть , гдезначения случайной величины.

.

Заметим, что .

Из данных закона распределения случайной величины

.

Тогда . Нет необходимости находить.

Пример 2. Задан закон распределения случайной величины

	0	1
	0,9	0,1

Найти моду и медиану случайной величины . Значение 0 принимается с наибольшей вероятностью

.

Тогда .

Найдем медиану

.

Нет значения случайной величины, при котором. Поэтому случайная величинамедианы не имеет.

3.6. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Вводится величина, характеризующая зависимость между двумя случайными величинами. Задано совместное распределение случайных величин и

.

Корреляционным моментомслучайных величини(иликовариациеймеждуи) называется число

Для дискретных случайных величин иимеем

.

Непосредственно из свойств математического ожидания вытекают свойства ковариации:

1. ;

2. ;

Для дискретных случайных величин имеем .

3. ;

4. ;

5. Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю.

Обратное не верно. Если , то случайные величиныимогут быть как зависимыми, так и независимыми.

Коэффициентом корреляциимежду случайными величинамииназываются число

.

Приведем некоторые свойства коэффициента корреляции.

1. 

Пусть и введем случайную величину

.

Знакоположительная случайная величина имеет не отрицательное математическое ожидание:

при любом .

Распишем

.

Получаем квадратичное неравенство

, где ,.

Неравенство выполняется при любом , если дискриминант неположительный. Тогда

, откуда

.

Таким образом, .

2. Если инезависимы, то, что следует из свойства 5 ковариации.

3. Коэффициент корреляции равен тогда и только тогда, когда случайные величины линейно зависимы

Пусть . Тогдаи,

.

Тогда .

Пусть .

Рассмотрим случайную величину

.

Найдем

,

.

Из свойства математического ожидания

.

Тогда

и

.

Получим линейное выражение через.

Случай разбирается аналогично. Вводится случайная величина.

Пример 1. Задано совместное распределение случайных величини

	2	4
0	0,1	0,3
1	0,2	0,4

Найти .

Запишем распределения случайных величин и

	0	1	;
	0,4	0,6

	2	4	.
	0,3	0,7

Найдем основные характеристики случайных величин и:

;

;

.

Используем формулу .

Найдем :

.

Тогда и

.