- •Введение
- •Глава 1. Случайные события
- •§ 1. Случайные события
- •§ 2. Действия над событиями
- •§ 3. Элементарные события. Алгебра случайных событий
- •§ 4. Вероятность события
- •§ 5. Некоторые следствия из аксиом вероятности
- •§ 6. Классическое определение вероятности
- •§ 7. Условная вероятность. Независимость событий
- •§ 8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Глава 2. Случайные величины
- •§ 1. Понятие случайной величины
- •§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.2. Совместное распределение двух дискретных случайных величин. Некоторые арифметические операции над дискретными случайными величинами
- •3.3. Свойства математического ожидания
- •3.4. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение
- •3.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.6. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •3.7. Моменты дискретных случайных величин
- •3.8. Функция распределения
- •§ 4. Непрерывные случайные величины
- •4.1. Плотность распределения, функция распределения непрерывной случайной величины
- •4.2. Характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 5. Некоторые специальные виды распределений
- •5.1. Гипергеометрическое распределение
- •5.2. Биномиальное распределение
- •5.3. Закон Пуассона
- •5.4. Равномерное распределение
- •5.5. Нормальное распределение
- •5.6. Некоторые важные статистические распределения
- •§ 6. Некоторые предельные теоремы теории вероятностей
- •6.1. Неравенство Чебышева
- •6.2. Закон больших чисел
- •6.3. Центральная предельная теорема. Интегральная и локальная теоремы Мувра-Лапласа
- •Приложение 1 Комбинаторика
3.3. Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной равно ей самой
Случайная величина принимает только одно значение с с вероятностью 1. Тогда .
2. Константу можно выносить за знак математического ожидания
Случайные величины иотличаются значениями.
Поэтому .
3. Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий
Пусть задано совместное распределение случайных величин и:,.
Тогда
.
Разобьем на две суммы
.
4. Математическое ожидание произведения независимыхслучайных величин равно произведению их математических ожиданий
Если случайные величины инезависимы, то.
Тогда
.
Математическое ожидание является числом. Поэтому для любых случайных величин ивыполняются равенства:
Пример 1. Дано. Найти.
Используем свойства 1, 2, 3.
Пример 2. Для случайной величинынайти.
Используем свойство 2.
.
Так как это число, то из свойства 1 следует
.
Тогда
Случайная величина называетсяцентрированной.
3.4. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение
Считаем, что случайная величина имеет математическое ожидание.
Нас интересует разброс значений случайной величины относительно своего математического ожидания (среднего значения). Для любой случайной величины справедливо. Поэтому в качестве среднего отклонения относительноберут математическое ожидание случайной величины.
Дисперсиейслучайной величиныназывается число
Закон распределения случайной величины задан
.
Тогда
Если число значений бесконечно, то существует при сходимости ряда.
Число называетсясреднеквадратическим отклонениемслучайной величины. Используются и другие обозначения дисперсии
.
Рассмотрим свойства дисперсии.
Дисперсия константы равна нулю
Из свойства математического ожидания: . Тогда.
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
При вычислении дисперсии суммируются неотрицательные числа:
где ипри.
Поэтому .
Константа выносится из-под знака дисперсии с квадратом
По определению дисперсии и свойствам математического ожидания
.
Сдвиг на константу не меняет дисперсию
Из свойства математического ожидания: . Тогда
.
Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания ее квадрата и квадрата математического ожидания самой случайной величины
.
В данном равенстве отбрасывают скобки
Приведем формулу вычисления математического ожидания квадрата дискретной случайной величины
где .
Используем свойства математического ожидания
.
Дисперсия суммы независимыхслучайных величин равна сумме их дисперсий
Приведем доказательство.
.
Далее пользуемся независимостью случайных величин
.
Пример 1. Задан закон распределения случайной величины
0 |
2 | ||
|
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Найти .
Используем формулу .
Найдем :
.
Тогда
;
.
Пример 2. Задан закон распределения случайной величины
3 |
4 | |
|
0,2 |
0,8 |
Найти среднеквадратическое отклонение . Используем формулу.
;
;
;
.
Пример 3. Случайные величиныХиYнезависимые и. Найти.
Используем свойства дисперсии:
.