- •Введение
- •Глава 1. Случайные события
- •§ 1. Случайные события
- •§ 2. Действия над событиями
- •§ 3. Элементарные события. Алгебра случайных событий
- •§ 4. Вероятность события
- •§ 5. Некоторые следствия из аксиом вероятности
- •§ 6. Классическое определение вероятности
- •§ 7. Условная вероятность. Независимость событий
- •§ 8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Глава 2. Случайные величины
- •§ 1. Понятие случайной величины
- •§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.2. Совместное распределение двух дискретных случайных величин. Некоторые арифметические операции над дискретными случайными величинами
- •3.3. Свойства математического ожидания
- •3.4. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение
- •3.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.6. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •3.7. Моменты дискретных случайных величин
- •3.8. Функция распределения
- •§ 4. Непрерывные случайные величины
- •4.1. Плотность распределения, функция распределения непрерывной случайной величины
- •4.2. Характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 5. Некоторые специальные виды распределений
- •5.1. Гипергеометрическое распределение
- •5.2. Биномиальное распределение
- •5.3. Закон Пуассона
- •5.4. Равномерное распределение
- •5.5. Нормальное распределение
- •5.6. Некоторые важные статистические распределения
- •§ 6. Некоторые предельные теоремы теории вероятностей
- •6.1. Неравенство Чебышева
- •6.2. Закон больших чисел
- •6.3. Центральная предельная теорема. Интегральная и локальная теоремы Мувра-Лапласа
- •Приложение 1 Комбинаторика
§ 5. Некоторые следствия из аксиом вероятности
Следствие 1. Вероятность любого события принадлежит отрезку от нуля до единицы:
Доказательство. Достоверное событие является следствием любого события А, и А является следствием невозможного события :
.
Из аксиомы 2 имеем . Используем аксиому 1, тогда .
Следствие 2. Вероятность того, что событие А не произойдет, равна единице минус вероятность того, что событие А произойдет:
Доказательство. События А и несовместны, в сумме образуют достоверное событие:
и .
Тогда . Из аксиом 1 и 2 вытекает , то есть .
Следствие 3. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий А и В, равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность того, что эти события произойдут одновременно:
Доказательство. Событие А имеет место, если одновременно произойдут события А и В или А и :
.
Слагаемые являются несовместными событиями. Из аксиомы 3 следует:
.
Аналогично, имеет место следующее равенство:
и .
Хотя бы одно из двух событий имеет место, если произойдет только одно из них или оба события одновременно:
.
Слагаемые являются попарно несовместными событиями. Из аксиомы 3 следует:
.
Учитывая разложения и , имеем:
.
§ 6. Классическое определение вероятности
Рассматривается случайный эксперимент, исходы которого описываются конечным числом элементарных событий
.
Всего п элементарных исходов. Каждый элементарный исход происходит с равной вероятностью
.
Говорят, что элементарные исходы равновозможны.
Элементарный исход считается благоприятным для события А, если это событие является следствием элементарного исхода :
благоприятный для А исход
Дадим классическое определение вероятности.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу элементарных исходов.
Число благоприятных исходов события А обозначается . Общее число элементарных исходов обозначим . Тогда
Проверим выполнение аксиом вероятности.
Невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода и . Достоверное событие содержит все элементарные исходы и .
Если , то и . Тогда .
События А и В несовместные, тогда они не содержат одинаковых элементарных исходов. Следовательно, и . И .
Классическое определение вероятности является частным случаем аксиоматического определения.
Пример 1. Подбрасывается правильная монета. С какой вероятностью выпадет решка?
Пространство элементарных исходов состоит из двух элементов .
Событие А– выпала решка – имеет один благоприятный исходР. Тогда .
Пример 2. В урне 5 белых и 2 черных шара, наугад вынимаем один шар. С какой вероятностью будет вынут белый шар?
При построении пространства элементарных исходов нужно учесть число шаров каждого вида.
Введем события:
взяли i-й белый шар, ;
взяли i-й черный шар, .
Тогда и .
Событие В– взяли белый шар. Для него , . Тогда .
В каждом примере с учетом проводимого опыта строится пространство элементарных исходов.
Пример 3. В урне 5 белых и 2 черных шара. Наугад выбираем три шара. С какой вероятность среди выбранных шаров будет один черный?
В чем состоит опыт? Из семи шаров выбираем три, порядок выбора роли не играет. Тогда пространство элементарных исходов состоит из сочетаний из семи по три .
Нас интересует событие В– из трех выбранных два белых шара и один – черный. Из пяти белых выбираем два, это можно сделать способами. Из двух черных шаров можно выбрать один двумя способами. Каждый черный шар мы должны взять с каждой парой белых шаров, поэтому
и .