- •Введение
- •Глава 1. Случайные события
- •§ 1. Случайные события
- •§ 2. Действия над событиями
- •§ 3. Элементарные события. Алгебра случайных событий
- •§ 4. Вероятность события
- •§ 5. Некоторые следствия из аксиом вероятности
- •§ 6. Классическое определение вероятности
- •§ 7. Условная вероятность. Независимость событий
- •§ 8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Глава 2. Случайные величины
- •§ 1. Понятие случайной величины
- •§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.2. Совместное распределение двух дискретных случайных величин. Некоторые арифметические операции над дискретными случайными величинами
- •3.3. Свойства математического ожидания
- •3.4. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение
- •3.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.6. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •3.7. Моменты дискретных случайных величин
- •3.8. Функция распределения
- •§ 4. Непрерывные случайные величины
- •4.1. Плотность распределения, функция распределения непрерывной случайной величины
- •4.2. Характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 5. Некоторые специальные виды распределений
- •5.1. Гипергеометрическое распределение
- •5.2. Биномиальное распределение
- •5.3. Закон Пуассона
- •5.4. Равномерное распределение
- •5.5. Нормальное распределение
- •5.6. Некоторые важные статистические распределения
- •§ 6. Некоторые предельные теоремы теории вероятностей
- •6.1. Неравенство Чебышева
- •6.2. Закон больших чисел
- •6.3. Центральная предельная теорема. Интегральная и локальная теоремы Мувра-Лапласа
- •Приложение 1 Комбинаторика
§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины
Если число значений случайной величины конечно или счетное, то ее называют дискретной.
Нас интересуют значения дискретной случайной величины и вероятности принятия случайной величиной этих значений.
Дискретная случайная величина считается заданной, если указаны ее значения и вероятности принятия их.
Пусть значения случайной величины перечислены . Вероятность принятия случайной величиной значения обозначим :
.
Соответствие между значениями случайной величины и вероятностями принятии значений называется законом распределения. Часто закон распределения записывается в табличной форме:
Значения случайной величины располагают в порядке возрастания.
Все значения случайной величины должны быть перечислены. Тогда .
Если число значений случайной величины достаточно большое, то описывают значения и задают формулу нахождения вероятности принятия значения по значению или его номеру.
Одно значение можно также считать случайной величиной, принимающей единственное значение с вероятностью 1:
с |
то есть | |
|
1 |
Такую случайную величину называют постояннойи обозначают значениемс.
Пример 1. Запишем закон распределения случайной величины , построенной в примере 1 параграфа 1.
0 |
1 |
2 | |
|
Пример 2. Стрелок стреляет в мишень до первого попадания. Выстрелы производятся независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Записать закон распределения случайной величины , показывающей число использованных пуль.
Введем события:
стрелок не попал при i-м выстреле.
Из условия задачи .
Множество значений случайной величины совпадает с множеством натуральных чисел. Если использованоkпулей, то приk-м выстреле стрелок попал, а до этого были одни промахи. Тогда
.
Из условия независимости выстрелов:
.
Запишем закон распределения случайной величины :
§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
Пусть траз проведен эксперимент, результат которого описывается случайной величиной . Предположим раз было получено значение в серии проведенных экспериментов, . Тогда среднее значение случайной величины равно
.
Здесь относительная частота появления значения в результатетэкспериментов. Если числотпроведенных экспериментов велико, то . Поэтому приближенное значение среднего случайной величины подсчитывается по формуле .
Задан закон распределения случайной величины:
Сумма называетсяматематическим ожиданиемслучайной величины и обозначается :
Пример 1. Случайная величина показывает число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти математическое ожидание случайной величины .
Случайная величина принимает 6 равновероятных значений:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | |
|
Тогда
Пример 2. Задан закон распределения дискретной случайной величиныХ:
0 |
3 |
4 | |
|
0,1 |
0,5 |
0,4 |
Найдем математическое ожидание заданной случайной величины:
.
Если число значений случайной величины Хне конечно, то математическое ожидание ее может и не существовать. Пусть , тогда . Если полученный ряд сходится, то математическое ожидание случайной величины существует.
Пример 3. Рассмотрим случайную величину, построенную в примере 2 параграфа 2:
.
Ряд сходится по признаку Даламбера. Поэтому случайная величина имеет математическое ожидание
.