5.6. Некоторые важные статистические распределения

Рассмотрим некоторые распределения, которые выражаются через нормально распределенные случайные величины.

1. Пусть независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону. Сумма квадратов этих случайных величин распределена позакону(хи-квадрата) сkстепенями свободы

.

Случайная величина имеет нулевую плотность распределения при.

При большом числе степеней свободы распределение близко к нормальному.

2. Пусть случайная величина распределена по стандартному нормальному закону. Задана случайная величина, распределенная по законусkстепенями свободы:. Случайная величинаинезависимые

имеет распределение Стьюдентасkстепенями свободы.

При большом числе степеней свободы распределение Стьюдента близко к стандартному нормальному распределению.

3. Пусть заданы случайные величины, распределенные по закону стипстепенями свободы:и. Разделим каждую из них на соответствующее число степеней свободы и возьмем отношение полученных случайных величин. Новая случайная величина обозначаетсяи имеетраспределение Фишера с т и п степенями свободы

.

Данная случайная величина не может принимать отрицательные значения.

§ 6. Некоторые предельные теоремы теории вероятностей

6.1. Неравенство Чебышева

В основе доказательства многих теорем теории вероятностей лежит неравенство Чебышева.

Пусть случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию. Вероятность того, что отклонение случайной величиныот ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа, не меньше чем:

Это неравенство называется неравенством Чебышева.

Докажем неравенство Чебышева для дискретной случйной величины. Пусть задан закон расределения случайной величины ,. Выразим дисперсию

.

Разобьем эту сумму на две. В первой будем суммировать только те слагаемые, для которых выполняется неравенство . Тогда

.

Каждое из слагаемых является не отрицательным. Отбросим первое слагаемое. Тогда

.

Полученная сумма представляет собой вероятность того, что случайная величина больше, т.е.

.

Итак,

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Поэтому

.

Тогда из доказанного неравенств следует

;

.

6.2. Закон больших чисел

Пусть случайные величины имеют равные математические ожидания.

При определенных условиях и при большом числе слагаемых среднее арифметическое практически совпадает с математическим ожиданием.

Теорема Чебышева. Имеется последовательностьнезависимых случайных величин с математическим ожиданиема, дисперсиями, ограниченными одной и той же константойс:

.

Тогда для любого положительного выполняется

.

Докажем теорему. Рассмотрим случайную величину . Используем свойства математического ожидания

.

Так как случайные величины независимы, то

.

Дисперсии случайных величин ограничены одной и той же константойс

.

Запишем неравенство Чебышева для случайной величины . Длявыполняется неравенство

.

Так как вероятность любого события не превышает единицы и , то.

Запишем одно из следствий теоремы Чебышева.

Теорема Бернулли. Случайная величинараспределена биномиально с праметрамипир. Для любого положительноговыполняется

.

Случайная величина показывает, сколько раз событиеАпроизошло средип независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых событиеАможет произойти с вероятностьюр. Величинапоказывает относительную частоту появления событияА. Теорема Бернулли утверждает, что относительная частота оявления событияАпрактически не отличается от вероятности событияАпри достаточно большом числе испытаний.

Доказательство теоремы Бернулли достаточно простое. Мы уже представляли биномиально распределенную случайную величину в виде суммы независимых одинаково определенных случайных величин:

, где ,

причем .

Условия теоремы Чебышева выполняются и тогда, когда

.

Следовательно, .